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Theorem xrsxmet 22612

Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
xrsxmet.1

**Assertion**
Ref	Expression
xrsxmet

Proof of Theorem xrsxmet Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 11829	. . . 4
2	1	a1i 11	. . 3
3		id 22	. . . . . . . 8
4		xnegcl 12044	. . . . . . . 8
5		xaddcl 12070	. . . . . . . 8 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . . 7 $/\$
7		xnegcl 12044	. . . . . . . 8
8		xaddcl 12070	. . . . . . . 8 $/\$
9	7, 8	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
10	6, 9	ifcld 4131	. . . . . 6 $/\$
11	10	rgen2a 2977	. . . . 5
12		xrsxmet.1	. . . . . . 7
13	12	xrsds 19789	. . . . . 6
14	13	fmpt2 7237	. . . . 5
15	11, 14	mpbi 220	. . . 4
16	15	a1i 11	. . 3
17		breq2 4657	. . . . . 6
18		breq2 4657	. . . . . 6
19		xsubge0 12091	. . . . . . . 8 $/\$
20	19	ancoms 469	. . . . . . 7 $/\$
21	20	biimpar 502	. . . . . 6 $/\$ $/\$
22		xrletri 11984	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
23	22	orcanai 952	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
24		xsubge0 12091	. . . . . . . 8 $/\$
25	24	biimpar 502	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
26	23, 25	syldan 487	. . . . . 6 $/\$ $/\$
27	17, 18, 21, 26	ifbothda 4123	. . . . 5 $/\$
28	12	xrsdsval 19790	. . . . 5 $/\$
29	27, 28	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
30	29	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
31	29	biantrud 528	. . . . 5 $/\$ $/\$
32	28, 10	eqeltrd 2701	. . . . . 6 $/\$
33		0xr 10086	. . . . . 6
34		xrletri3 11985	. . . . . 6 $/\$ $/\$
35	32, 33, 34	sylancl 694	. . . . 5 $/\$ $/\$
36		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
37		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
38		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13
39	37, 38	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
40	12	xrsdsreclb 19793	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
42	41	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	43	simpld 475	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
46	43	simprd 479	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48		rexsub 12064	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	43, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
50	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
53		xneg11 12046	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
54	6, 33, 53	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
56	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
57		xnegdi 12078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
58	55, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59		xnegneg 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
62	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
63		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
64		xaddcom 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	58, 61, 65	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67		xneg0 12043	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	66, 68	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70	54, 69	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
72		biidd 252	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
73		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
74	73	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . 13
75		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
76	75	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . 13
77	74, 76	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
78	71, 72, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
79	52, 78	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80	49, 79	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
81	45, 47, 80	subeq0d 10400	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
82	36, 81	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	ex 450	. . . . . 6 $/\$
84	12	xrsdsval 19790	. . . . . . . . . 10 $/\$
85	84	anidms 677	. . . . . . . . 9
86		xrleid 11983	. . . . . . . . . 10
87	86	iftrued 4094	. . . . . . . . 9
88		xnegid 12069	. . . . . . . . 9
89	85, 87, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
90	89	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
91		oveq1 6657	. . . . . . . 8
92	91	eqeq1d 2624	. . . . . . 7
93	90, 92	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 $/\$
94	83, 93	impbid 202	. . . . 5 $/\$
95	31, 35, 94	3bitr2d 296	. . . 4 $/\$
96	95	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
97		simplrr 801	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	97	leidd 10594	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
104	103	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12
105	104	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
106	105, 89	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10
107	102, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	101, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	97	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	addid2d 10237	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtr2d 2657	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	98, 100, 112	3brtr3d 4684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		simplrl 800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	115, 116	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	leidd 10594	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpll1 1100	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		simpll2 1101	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
122	91, 121	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
123	122	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
124		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10
125		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10
126		xrleloe 11977	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
129	128	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
130		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
131		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
132	130, 131	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
133	129, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
134		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
136	127, 133, 135	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
137	136	con2bid 344	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
138	137	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
139	138	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
140	136	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
141	140	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
142	124, 125, 139, 141	ifbothda 4123	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
143	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144	12	xrsdsval 19790	. . . . . . . . . . 11 $/\$
145	144	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 $/\$
146	145	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
147	142, 143, 146	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
148	123, 147	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 $/\$
149	119, 120, 148	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	120, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	150, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	115, 152	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	117	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	154	addid1d 10236	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	153, 155	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	118, 149, 156	3brtr4d 4685	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160		simpll1 1100	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	12	xrsdsreclb 19793	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	158, 163	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	164	simprd 479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	165	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		simpll2 1101	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170	12	xrsdsreclb 19793	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
171	159, 168, 169, 170	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	167, 171	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	172	simprd 479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	164	simpld 475	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	175	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	166, 174, 176	abs3difd 14199	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	12	xrsdsreval 19791	. . . . . . 7 $/\$
179	165, 173, 178	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	12	xrsdsreval 19791	. . . . . . . . 9 $/\$
181	164, 180	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	176, 166	abssubd 14192	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	181, 182	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	12	xrsdsreval 19791	. . . . . . . 8 $/\$
185	172, 184	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	183, 185	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	177, 179, 186	3brtr4d 4685	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	113, 157, 187	pm2.61da2ne 2882	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	188	3adant1 1079	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	2, 16, 30, 96, 189	isxmet2d 22132	. 2
191	190	trud 1493	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200

cif 4086 class class class wbr 4653

cxp 5112

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cxne 11943

cxad 11944

cabs 13974

cds 15950

cxrs 16160

cxmt 19731

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-icc 12182 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-xrs 16162 df-xmet 19739

This theorem is referenced by: xrsdsre 22613 xrsblre 22614 xrsmopn 22615 metdcnlem 22639 xmetdcn2 22640 xmetdcn 22641 metdscn 22659 metdscn2 22660

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