Theorem xlimpnf 40068

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnf.k	|- F/_ k F
xlimpnf.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
xlimpnf.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimpnf.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
xlimpnf	|- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   j, F, x   j, Z, x   j, k

Allowed substitution hints:   ph( x, j, k)   F( k)   M( x, j, k)   Z( k)

Proof of Theorem xlimpnf

Dummy variables i l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnf.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		xlimpnf.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		xlimpnf.f	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
4	1, 2, 3	xlimpnfv 40064	. 2 |- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> A. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) ) )
5		breq1 4656	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` l ) ) )
6	5	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` j ) )
8	7	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> A. l e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` l ) ) )
9		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k x
10		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k <_
11		xlimpnf.k	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
12		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k l
13	11, 12	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` l )
14	9, 10, 13	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ k x <_ ( F ` l )
15		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ l x <_ ( F ` k )
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( l = k -> ( F ` l ) = ( F ` k ) )
17	16	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( l = k -> ( x <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` k ) ) )
18	14, 15, 17	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. l e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` l ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
19	8, 18	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( i = j -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )
20	19	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) x <_ ( F ` l ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
21	6, 20	syl6bb 276	. . 3 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )
22	21	cbvralv 3171	. 2 |- ( A. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) y <_ ( F ` l ) <-> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
23	4, 22	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  xlimpnfmpt  40070  dfxlim2v  40073