Theorem xlimpnfv 40064

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfv.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
xlimpnfv.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimpnfv.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfv	|- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   j, F, k, x   j, M   j, Z, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   M( x, k)

Proof of Theorem xlimpnfv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfv.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F~~>* +oo ) /\ x e. RR ) -> M e. ZZ )
3		xlimpnfv.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		xlimpnfv.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
5	4	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F~~>* +oo ) /\ x e. RR ) -> F : Z --> RR* )
6		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F~~>* +oo ) /\ x e. RR ) -> F~~>* +oo )
7		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F~~>* +oo ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimpnfvlem1 40062	. . 3 |- ( ( ( ph /\ F~~>* +oo ) /\ x e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
9	8	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ph /\ F~~>* +oo ) -> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
10		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k ph
11		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k RR
12		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k Z
13		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ k A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k )
14	12, 13	nfrex 3007	. . . . 5 |- F/ k E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k )
15	11, 14	nfral 2945	. . . 4 |- F/ k A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k )
16	10, 15	nfan 1828	. . 3 |- F/ k ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
17		nfv 1843	. . . 4 |- F/ j ph
18		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j RR
19		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ j E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k )
20	18, 19	nfral 2945	. . . 4 |- F/ j A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k )
21	17, 20	nfan 1828	. . 3 |- F/ j ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
22	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) -> M e. ZZ )
23	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) -> F : Z --> RR* )
24		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j y e. RR
25	21, 24	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ j ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. RR )
26		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> y e. RR )
27		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> y e. RR* )
29		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
30	29	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR* )
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> ( y + 1 ) e. RR* )
32	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : Z --> RR* )
33	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
35	32, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
36	35	ad5ant134 1313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
37	26	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> y < ( y + 1 ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) )
39	28, 31, 36, 37, 38	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> y < ( F ` k ) )
40	39	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) -> y < ( F ` k ) ) )
41	40	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) )
43	42	ad5ant1345 1316	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. RR ) /\ j e. Z ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) )
44	43	3impa 1259	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. RR ) /\ j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) )
45	29	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) /\ y e. RR ) -> ( y + 1 ) e. RR )
46		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) /\ y e. RR ) -> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ ( F ` k ) <-> ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) )
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) ) )
50	49	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( ( y + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) )
51	45, 46, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) /\ y e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) )
52	51	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( y + 1 ) <_ ( F ` k ) )
53	25, 44, 52	reximdd 39344	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) )
54	53	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) -> A. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) y < ( F ` k ) )
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimpnfvlem2 40063	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) -> F~~>* +oo )
56	9, 55	impbida 877	1 |- ( ph -> ( F~~>* +oo <-> A. x e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) x <_ ( F ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  xlimpnf  40068