Theorem zlmds 30008

Description: Distance in a ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	|- W = ( ZMod ` G )
zlmds.1	|- D = ( dist ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmds	|- ( G e. V -> D = ( dist ` W ) )

Proof of Theorem zlmds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem2.1	. . . . 5 |- W = ( ZMod ` G )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
3	1, 2	zlmval 19864	. . . 4 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
4	3	fveq2d 6195	. . 3 |- ( G e. V -> ( dist ` W ) = ( dist ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
5		dsid 16063	. . . . 5 |- dist = Slot ( dist ` ndx )
6		5re 11099	. . . . . . 7 |- 5 e. RR
7		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
8		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
9		5nn0 11312	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
10		5lt10 11677	. . . . . . . 8 |- 5 < ; 1 0
11	7, 8, 9, 10	declti 11546	. . . . . . 7 |- 5 < ; 1 2
12	6, 11	gtneii 10149	. . . . . 6 |- ; 1 2 =/= 5
13		dsndx 16062	. . . . . . 7 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
14		scandx 16013	. . . . . . 7 |- (Scalar ` ndx ) = 5
15	13, 14	neeq12i 2860	. . . . . 6 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
16	12, 15	mpbir 221	. . . . 5 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
17	5, 16	setsnid 15915	. . . 4 |- ( dist ` G ) = ( dist ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
18		6re 11101	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
19		6nn0 11313	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN0
20		6lt10 11676	. . . . . . . 8 |- 6 < ; 1 0
21	7, 8, 19, 20	declti 11546	. . . . . . 7 |- 6 < ; 1 2
22	18, 21	gtneii 10149	. . . . . 6 |- ; 1 2 =/= 6
23		vscandx 16015	. . . . . . 7 |- ( .s ` ndx ) = 6
24	13, 23	neeq12i 2860	. . . . . 6 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
25	22, 24	mpbir 221	. . . . 5 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
26	5, 25	setsnid 15915	. . . 4 |- ( dist ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( dist ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
27	17, 26	eqtri 2644	. . 3 |- ( dist ` G ) = ( dist ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
28	4, 27	syl6eqr 2674	. 2 |- ( G e. V -> ( dist ` W ) = ( dist ` G ) )
29		zlmds.1	. 2 |- D = ( dist ` G )
30	28, 29	syl6reqr 2675	1 |- ( G e. V -> D = ( dist ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   2c2 11070   5c5 11073   6c6 11074  ;cdc 11493   ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   distcds 15950  ._gcmg 17540  ℤ_ringzring 19818   ZModczlm 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ds 15964  df-zlm 19853

This theorem is referenced by:  zlmnm  30010  zhmnrg  30011