Theorem zlmtset 30009

Description: Topology in a ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	|- W = ( ZMod ` G )
zlmtset.1	|- J = (TopSet ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmtset	|- ( G e. V -> J = (TopSet ` W ) )

Proof of Theorem zlmtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem2.1	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
3	1, 2	zlmval 19864	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
4	3	fveq2d 6195	. 2 |- ( G e. V -> (TopSet ` W ) = (TopSet ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
5		zlmtset.1	. . 3 |- J = (TopSet ` G )
6		tsetid 16041	. . . 4 |- TopSet = Slot (TopSet ` ndx )
7		5re 11099	. . . . . 6 |- 5 e. RR
8		5lt9 11225	. . . . . 6 |- 5 < 9
9	7, 8	gtneii 10149	. . . . 5 |- 9 =/= 5
10		tsetndx 16040	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
11		scandx 16013	. . . . . 6 |- (Scalar ` ndx ) = 5
12	10, 11	neeq12i 2860	. . . . 5 |- ( (TopSet ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> 9 =/= 5 )
13	9, 12	mpbir 221	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
14	6, 13	setsnid 15915	. . 3 |- (TopSet ` G ) = (TopSet ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
15		6re 11101	. . . . . 6 |- 6 e. RR
16		6lt9 11224	. . . . . 6 |- 6 < 9
17	15, 16	gtneii 10149	. . . . 5 |- 9 =/= 6
18		vscandx 16015	. . . . . 6 |- ( .s ` ndx ) = 6
19	10, 18	neeq12i 2860	. . . . 5 |- ( (TopSet ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> 9 =/= 6 )
20	17, 19	mpbir 221	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
21	6, 20	setsnid 15915	. . 3 |- (TopSet ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (TopSet ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
22	5, 14, 21	3eqtri 2648	. 2 |- J = (TopSet ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
23	4, 22	syl6reqr 2675	1 |- ( G e. V -> J = (TopSet ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   5c5 11073   6c6 11074   9c9 11077   ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  TopSetcts 15947  ._gcmg 17540  ℤ_ringzring 19818   ZModczlm 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-zlm 19853

This theorem is referenced by:  zhmnrg  30011