Theorem 0ramcl 15727

Description: Lemma for ramcl 15733: Existence of the Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0ramcl	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem 0ramcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹 Fn 𝑅)
2		dffn4 6121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑅 ↔ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
4	3	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
5		foeq2 6112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:∅–onto→ran 𝐹))
7	4, 6	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹:∅–onto→ran 𝐹)
8		fo00 6172	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ ran 𝐹 = ∅))
9	8	simplbi 476	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→ran 𝐹 → 𝐹 = ∅)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → 𝐹 = ∅)
11	10	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) = (0 Ramsey ∅))
12		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		ram0 15726	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0 Ramsey ∅) = 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 Ramsey ∅) = 0
15	14, 12	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ (0 Ramsey ∅) ∈ ℕ0
16	11, 15	syl6eqel 2709	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
17		0ram2 15725	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
18		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
19	18	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℕ0)
20		nn0ssz 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
21	19, 20	syl6ss 3615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℤ)
22		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 = 𝑅)
24		simp2 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ≠ ∅)
25	23, 24	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → dom 𝐹 ≠ ∅)
26		dm0rn0 5342	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
27	26	necon3bii 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
28	25, 27	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ≠ ∅)
29		nn0ssre 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
30	19, 29	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
31		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
32	3	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹)
33		fofi 8252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ran 𝐹 ∈ Fin)
35		fimaxre 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
36	30, 34, 28, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
37		ssrexv 3667	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥))
38	21, 36, 37	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)
39		suprzcl2 11778	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℤ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
40	21, 28, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
41	19, 40	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
42	17, 41	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
43	42	3expa 1265	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
44	43	an32s 846	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
45	16, 44	pm2.61dane 2881	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377   Ramsey cram 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ram 15705

This theorem is referenced by:  ramcl  15733