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Theorem ramcl 15733

Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ramcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Proof of Theorem ramcl Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 11298	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ∈ V
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3		elmapg 7870	. . . 4 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
5		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
8	7	imbi2d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
9		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
12	11	imbi2d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
13		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
15	14	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
16	15	imbi2d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
17		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
20	19	imbi2d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
21		elmapi 7879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
22		0ramcl 15727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
24	23	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
25		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀))
27	26	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
28		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑅 ∈ Fin)
29	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
31	28, 30	fsumnn0cl 14467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
32		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
33	32	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)))
34	33	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
35	34	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
36	35	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
37		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛))
38	37	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛)))
39	38	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
40	39	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
41	40	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
42		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
43	42	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
44	43	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
45	44	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
46	45	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
47		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)))
48	47	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
49	48	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
50	49	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
51	50	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
52		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑅 ∈ Fin)
53		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
54	53	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℝ)
56	54	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → 0 ≤ (ℎ‘𝑘))
57	52, 55, 56	fsum00 14530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
58		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ‘𝑘) ∈ V
59	58	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V
60		mpteqb 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)
62	57, 61	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ:𝑅⟶ℕ₀)
64	63	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)))
65		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0))
67	64, 66	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
68	62, 67	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ℎ = (𝑅 × {0})))
69		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70		0xp 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
71	69, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
74		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
76		ram0 15726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
78	72, 77	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
79	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
80	78, 79	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
81	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
82		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84		ramz 15729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
87	85, 86	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
88	80, 87	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀))
91	88, 90	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
92	68, 91	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
93	92	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
94	93	alrimiv 1855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
95		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → 𝑓 Fn 𝑅)
96	95	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
98	97	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
99	96, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
100		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
102	101, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
103		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
106		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ₀) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
107	104, 105, 106	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
108	101	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111	108, 109, 110	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
113	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
114		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
116		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
117	104	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
118		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
121	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
122	121	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ₀)
123	120, 122	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
124		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))
125	123, 124	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀)
126		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
128		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
129	128	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
130	129	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℂ)
131	130	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑘) − 0) = (𝑓‘𝑘))
132	131	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)))
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑓‘𝑥) − 1))
136	135	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
137	132, 136	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)))
138		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0))
139	137, 138	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
140	139	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
141		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
142		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ 0 ∈ ℂ
143	109, 142	keepel 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
145	141, 130, 144	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
146		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
147	146	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
148	147	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
149		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
150	149	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
151		sumhash 15600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (#‘{𝑥}))
152	141, 150, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (#‘{𝑥}))
153		hashsng 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 → (#‘{𝑥}) = 1)
154	149, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (#‘{𝑥}) = 1)
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
156	148, 155	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
158	140, 145, 157	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
159	113, 126, 127, 158	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
160		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
162		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
163	162	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
164	163	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
165		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
166	164, 109, 165	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
167	159, 161, 166	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)
168	125, 167	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
169		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀))
170		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ‘𝑘) = ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘))
171		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑘 = 𝑥))
172		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑘))
173	171, 172	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
174		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ V
175		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
176	174, 175	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) ∈ V
177	173, 124, 176	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
178	170, 177	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
179	178	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
180	179	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
181	169, 180	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)))
182		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
183	182	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀))
184	181, 183	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
185	184	spcgv 3293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
186	115, 116, 168, 185	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)
187		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
188	186, 187	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀)
189		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
190	1, 103, 189	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
191	188, 190	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅))
192		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
193	192	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
194		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
195	194	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀))
196	195	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀))
197	191, 193, 196	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
198	112, 197	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
199		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀ → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
201		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
202	100, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
203	202	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
204		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑥))
205		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
206	204, 205	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
207	206	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
208		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑧))
209		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
210	209	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) − 1) = ((𝑓‘𝑧) − 1))
211	208, 210	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))
212	211	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
213	207, 212	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
214	213	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
215	214	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑧 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
216	203, 103, 104, 215, 188, 198	ramub1 15732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))
217		ramubcl 15722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
218	102, 103, 107, 200, 216, 217	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
219	218	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
220	219	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
221	99, 220	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
222		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
223		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
224	223	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
225		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
226	224, 225	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
227	226	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → (𝑓‘𝑥) = 0))
228	202	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
229		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
230	228, 229, 223	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
231		ramz2 15728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
232	230, 231	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
233	232, 86	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
234	233	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
235	227, 234	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
236	235	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
237	222, 236	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
238	221, 237	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
239	238	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
240	239	alrimdv 1857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
241		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
242		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
243	242	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))
244	243	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
245	241, 244	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
246		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
247	246	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
248	245, 247	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
249	248	cbvalv 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
250	240, 249	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
251	250	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
252	251	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
253	252	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
254	36, 41, 46, 51, 94, 253	nn0ind 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
255	254	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
256	255	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
257	31, 256	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
258	243	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
259	258, 241	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
260	259, 247	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
261	260	spv 2260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
262	257, 29, 261	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
263	262	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
264	263	ralrimdva 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
265	27, 264	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
266	265	expcom 451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
267	266	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
268	8, 12, 16, 20, 24, 267	nn0ind 11472	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
269	268	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
270		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
271	270	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
272	271	rspccv 3306	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
273	269, 272	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
274	4, 273	sylbird 250	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ₀ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
275	274	3impia 1261	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 ∀wal 1481 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 Vcvv 3200 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 ifcif 4086 {csn 4177 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 × cxp 5112 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ↑_𝑚 cmap 7857 Fincfn 7955 ℂcc 9934 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 ℕ₀cn0 11292 #chash 13117 Σcsu 14416 Ramsey cram 15703

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ram 15705

This theorem is referenced by: ramsey 15734

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