Theorem 13prm 15823

Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
13prm	⊢ ;13 ∈ ℙ

Proof of Theorem 13prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn 11186	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;13 ∈ ℕ
4		1nn 11031	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;13
8		2cn 11091	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	mulid2i 10043	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
10		df-3 11080	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
11	1, 1, 9, 10	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;13
12		4nn0 11311	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2p1e3 11151	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
15		4cn 11098	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		3cn 11095	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17		4t3e12 11632	. . . . 5 ⊢ (4 · 3) = ;12
18	15, 16, 17	mulcomli 10047	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = ;12
19	1, 13, 14, 18	decsuc 11535	. . 3 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
20		1lt3 11196	. . 3 ⊢ 1 < 3
21	2, 12, 4, 19, 20	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
22		5nn0 11312	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23		3lt10 11679	. . 3 ⊢ 3 < ;10
24		1lt2 11194	. . 3 ⊢ 1 < 2
25	1, 13, 5, 22, 23, 24	decltc 11532	. 2 ⊢ ;13 < ;25
26	3, 7, 11, 21, 25	prmlem1 15814	1 ⊢ ;13 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  1c1 9937   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  ;cdc 11493  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  1259lem5  15842  bpos1  25008