Theorem 2exp8 15796

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11309	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11311	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11304	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 11091	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11181	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10047	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 15794	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11313	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11316	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11304	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11134	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 11108	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 11102	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 11624	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10228	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 11580	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11310	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11170	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 11646	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 11587	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 11589	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 15783	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  2exp16  15797  2503lem1  15844  quart1lem  24582  quart1  24583  fmtno3  41463  fmtno4sqrt  41483  2exp11  41517