Theorem acongrep 37547

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	|- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Distinct variable groups:   A, a   N, a

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
2		simpl 473	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> A e. NN )
3		nnmulcl 11043	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
5		simpr 477	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		congrep 37540	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
8		elfzelz 12342	. . . . 5 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. ZZ )
9	8	zred 11482	. . . 4 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> b e. RR )
10	9	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. RR )
11		nnre 11027	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
12	11	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. RR )
13		elfzle1 12344	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) -> 0 <_ b )
14	13	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 <_ b )
15	14	anim1i 592	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) )
16	8	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. ZZ )
17		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> 0 e. ZZ )
18		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> A e. ZZ )
20		elfz 12332	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( b e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ b /\ b <_ A ) ) )
23	15, 22	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> b e. ( 0 ... A ) )
24		simplrr 801	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
25	24	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( a = b -> a = b )
27		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( a = b -> N = N )
28	26, 27	acongeq12d 37546	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) )
29	28	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( b e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( b - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( b - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
30	23, 25, 29	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ b <_ A ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
31		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A e. NN )
32		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
33		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
34	9	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. RR )
35		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
36		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
37	35, 11, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. RR )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
39		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 e. ZZ )
40		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
41		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
42	40, 18, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
45		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) -> ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <-> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( 2 x. A ) e. ZZ ) /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( b e. ZZ /\ 0 <_ b /\ b < ( 2 x. A ) ) )
48	47	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b < ( 2 x. A ) )
49	34, 38, 48	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> b <_ ( 2 x. A ) )
50	38, 34	subge0d 10617	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) <-> b <_ ( 2 x. A ) ) )
51	49, 50	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) )
52	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A e. RR )
53		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. CC )
54		2times 11145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = ( ( A + A ) - A ) )
56		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - A ) = A )
57	56	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - A ) = A )
58	55, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
60	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) = A )
61		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> A <_ b )
62	60, 61	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - A ) <_ b )
63	38, 52, 34, 62	subled 10630	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A )
64	51, 63	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) )
66	40, 19, 41	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. ZZ )
67	66, 16	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ )
68		elfz 12332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. A ) - b ) /\ ( ( 2 x. A ) - b ) <_ A ) ) )
71	65, 70	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) )
72		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. ZZ )
73		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( b - N ) )
74		congsym 37535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( N - b ) )
76	72, 16	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( N - b ) e. ZZ )
77		dvdsadd 15024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. ZZ /\ ( N - b ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
78	66, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) || ( N - b ) <-> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) ) )
79	75, 78	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
80	67	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - b ) e. CC )
81		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> N e. CC )
83	80, 82	subnegd 10399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) )
84	66	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
85	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> b e. CC )
86	84, 85, 82	subadd23d 10414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) + N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
87	83, 86	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) = ( ( 2 x. A ) + ( N - b ) ) )
88	79, 87	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
89	88	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) )
90	89	olcd 408	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) )
91		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> a = ( ( 2 x. A ) - b ) )
92		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> N = N )
93	91, 92	acongeq12d 37546	. . . . 5 |- ( a = ( ( 2 x. A ) - b ) -> ( ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) <-> ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) )
94	93	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. A ) - b ) e. ( 0 ... A ) /\ ( ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( ( ( 2 x. A ) - b ) - -u N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
95	71, 90, 94	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) /\ A <_ b ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
96	10, 12, 30, 95	lecasei 10143	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) /\ ( b e. ( 0 ... ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) /\ ( 2 x. A ) || ( b - N ) ) ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )
97	7, 96	rexlimddv 3035	1 |- ( ( A e. NN /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ( 0 ... A ) ( ( 2 x. A ) || ( a - N ) \/ ( 2 x. A ) || ( a - -u N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ...cfz 12326   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  jm2.26  37569