Theorem axsegcon 25807

Description: Any segment 𝐴𝐵 can be extended to a point 𝑥 such that 𝐵𝑥 is congruent to 𝐶𝐷. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axsegcon	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axsegcon

Dummy variables 𝑘 𝑝 𝑡 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem1 25797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
2	1	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
3		simprll 802	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simprlr 803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		simprr 796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2) = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))
10	7, 8, 9	axsegconlem8 25804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
11	7, 8	axsegconlem7 25803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1))
12	7, 8, 9	axsegconlem10 25806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
13	7, 8, 9	axsegconlem9 25805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
14		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (𝑥‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (𝑡 · (𝑥‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
19	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = (((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
21	20	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2))
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
23	18, 22	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
24		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (1 − 𝑡) = (1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))))
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)))
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)) = (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))
27	25, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))))
28	27	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
29	28	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖)))))
30	29	anbi1d 741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
31	23, 30	rspc2ev 3324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) / ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)))) · ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)) + (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2))) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))))‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
32	10, 11, 12, 13, 31	syl112anc 1330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
33	3, 4, 5, 6, 32	syl31anc 1329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
34	33	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
35	2, 34	pm2.61ine 2877	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
36		simpllr 799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simplll 798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
39		brbtwn 25779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
41		simplrl 800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
42		simplrr 801	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43		brcgr 25780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
44	36, 38, 41, 42, 43	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
45	40, 44	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
46		r19.41v 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
47	45, 46	syl6bbr 278	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
48	47	rexbidva 3049	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
49	35, 48	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
50	49	3adant1 1079	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  [,]cicc 12178  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  Σcsu 14416  𝔼cee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773

This theorem is referenced by:  eengtrkg  25865  cgrtriv  32109  segconeu  32118  btwntriv2  32119  btwnouttr2  32129  btwndiff  32134  ifscgr  32151  cgrxfr  32162  lineext  32183  btwnconn1lem13  32206  btwnconn1lem14  32207  segcon2  32212