Proof of Theorem bcp1ctr
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2t1e2 11176 |
. . . . . . 7
⊢ (2
· 1) = 2 |
2 | | df-2 11079 |
. . . . . . 7
⊢ 2 = (1 +
1) |
3 | 1, 2 | eqtri 2644 |
. . . . . 6
⊢ (2
· 1) = (1 + 1) |
4 | 3 | oveq2i 6661 |
. . . . 5
⊢ ((2
· 𝑁) + (2 ·
1)) = ((2 · 𝑁) + (1
+ 1)) |
5 | | nn0cn 11302 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
6 | | 2cn 11091 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℂ |
7 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
8 | | adddi 10025 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ 𝑁
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑁 + 1)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 1))) |
9 | 6, 7, 8 | mp3an13 1415 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (2
· (𝑁 + 1)) = ((2
· 𝑁) + (2 ·
1))) |
10 | 5, 9 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (𝑁 + 1))
= ((2 · 𝑁) + (2
· 1))) |
11 | | 2nn0 11309 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
12 | | nn0mulcl 11329 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑁) ∈
ℕ0) |
13 | 11, 12 | mpan 706 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁)
∈ ℕ0) |
14 | 13 | nn0cnd 11353 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁)
∈ ℂ) |
15 | | addass 10023 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1) + 1) = ((2 · 𝑁) + (1 + 1))) |
16 | 7, 7, 15 | mp3an23 1416 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝑁) ∈ ℂ
→ (((2 · 𝑁) +
1) + 1) = ((2 · 𝑁) +
(1 + 1))) |
17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) + 1) = ((2 · 𝑁) +
(1 + 1))) |
18 | 4, 10, 17 | 3eqtr4a 2682 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (𝑁 + 1))
= (((2 · 𝑁) + 1) +
1)) |
19 | 18 | oveq1d 6665 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = ((((2
· 𝑁) + 1) +
1)C(𝑁 +
1))) |
20 | | peano2nn0 11333 |
. . . . 5
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℕ0) |
21 | 13, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
∈ ℕ0) |
22 | | nn0p1nn 11332 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ) |
23 | 22 | nnzd 11481 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℤ) |
24 | | bcpasc 13108 |
. . . 4
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((((2 ·
𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1))) |
25 | 21, 23, 24 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) + 1)C(𝑁 + 1))) |
26 | 19, 25 | eqtr4d 2659 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = ((((2
· 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) |
27 | | nn0z 11400 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
28 | | bccl 13109 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
29 | 13, 27, 28 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
30 | 29 | nn0cnd 11353 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℂ) |
31 | | 2cnd 11093 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
32 | 21 | nn0red 11352 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
∈ ℝ) |
33 | 32, 22 | nndivred 11069 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) ∈
ℝ) |
34 | 33 | recnd 10068 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) ∈
ℂ) |
35 | 30, 31, 34 | mul12d 10245 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))))) |
36 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
37 | 14, 36, 5 | addsubd 10413 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) − 𝑁) = (((2
· 𝑁) − 𝑁) + 1)) |
38 | 5 | 2timesd 11275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝑁) =
(𝑁 + 𝑁)) |
39 | 38 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)
− 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁)) |
40 | 5, 5 | pncand 10393 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
41 | 39, 40 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)
− 𝑁) = 𝑁) |
42 | 41 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)
− 𝑁) + 1) = (𝑁 + 1)) |
43 | 37, 42 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) = (((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁)) |
44 | 43 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) / (𝑁 + 1)) = (((2
· 𝑁) + 1) / (((2
· 𝑁) + 1) −
𝑁))) |
45 | 44 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
46 | | fzctr 12451 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈ (0...(2
· 𝑁))) |
47 | | bcp1n 13103 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
48 | 46, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) = (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (((2 · 𝑁) + 1) − 𝑁)))) |
49 | 45, 48 | eqtr4d 2659 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
50 | 49 | oveq2d 6666 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (((2 · 𝑁)C𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
51 | 35, 50 | eqtrd 2656 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
52 | | bccmpl 13096 |
. . . . . . 7
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (((2 ·
𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)))) |
53 | 21, 23, 52 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1)C(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)))) |
54 | 38 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
= ((𝑁 + 𝑁) + 1)) |
55 | 5, 5, 36 | addassd 10062 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 𝑁) + 1) = (𝑁 + (𝑁 + 1))) |
56 | 54, 55 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) + 1)
= (𝑁 + (𝑁 + 1))) |
57 | 56 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) − (𝑁 + 1)) =
((𝑁 + (𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1))) |
58 | 22 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℂ) |
59 | 5, 58 | pncand 10393 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + (𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) = 𝑁) |
60 | 57, 59 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁) |
61 | 60 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(((2 · 𝑁) + 1)
− (𝑁 + 1))) = (((2
· 𝑁) + 1)C𝑁)) |
62 | 53, 61 | eqtrd 2656 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1)C𝑁)) |
63 | | pncan 10287 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑁 + 1)
− 1) = 𝑁) |
64 | 5, 7, 63 | sylancl 694 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) − 1)
= 𝑁) |
65 | 64 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C((𝑁 + 1) − 1)) =
(((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) |
66 | 62, 65 | oveq12d 6668 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
67 | | bccl 13109 |
. . . . . . 7
⊢ ((((2
· 𝑁) + 1) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) ∈
ℕ0) |
68 | 21, 27, 67 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) ∈
ℕ0) |
69 | 68 | nn0cnd 11353 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁) +
1)C𝑁) ∈
ℂ) |
70 | 69 | 2timesd 11275 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (2 · (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁)) = ((((2 · 𝑁) + 1)C𝑁) + (((2 · 𝑁) + 1)C𝑁))) |
71 | 66, 70 | eqtr4d 2659 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((((2 · 𝑁) +
1)C(𝑁 + 1)) + (((2 ·
𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = (2 · (((2
· 𝑁) + 1)C𝑁))) |
72 | 51, 71 | eqtr4d 2659 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2 · 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1)))) = ((((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) + (((2 · 𝑁) + 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) |
73 | 26, 72 | eqtr4d 2659 |
1
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · (𝑁 +
1))C(𝑁 + 1)) = (((2
· 𝑁)C𝑁) · (2 · (((2
· 𝑁) + 1) / (𝑁 + 1))))) |