Theorem bcp1ctr 25004

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 11176	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2		df-2 11079	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
3	1, 2	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
4	3	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) )
5		nn0cn 11302	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
7		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		adddi 10025	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
9	6, 7, 8	mp3an13 1415	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
11		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
12		nn0mulcl 11329	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
13	11, 12	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. CC )
15		addass 10023	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
16	7, 7, 15	mp3an23 1416	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2682	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) )
19	18	oveq1d 6665	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
20		peano2nn0 11333	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
21	13, 20	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
22		nn0p1nn 11332	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
23	22	nnzd 11481	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
24		bcpasc 13108	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
25	21, 23, 24	syl2anc 693	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
26	19, 25	eqtr4d 2659	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
27		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28		bccl 13109	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
29	13, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. CC )
31		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
32	21	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33	32, 22	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. RR )
34	33	recnd 10068	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. CC )
35	30, 31, 34	mul12d 10245	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )
36		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
37	14, 36, 5	addsubd 10413	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) = ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) )
38	5	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = ( ( N + N ) - N ) )
40	5, 5	pncand 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) - N ) = N )
41	39, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = N )
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
43	37, 42	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
46		fzctr 12451	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
47		bcp1n 13103	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
49	45, 48	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
51	35, 50	eqtrd 2656	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
52		bccmpl 13096	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
53	21, 23, 52	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
54	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( ( N + N ) + 1 ) )
55	5, 5, 36	addassd 10062	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) )
58	22	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
59	5, 58	pncand 10393	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) = N )
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = N )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
62	53, 61	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
63		pncan 10287	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
64	5, 7, 63	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
65	64	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
66	62, 65	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
67		bccl 13109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
68	21, 27, 67	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
69	68	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. CC )
70	69	2timesd 11275	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
72	51, 71	eqtr4d 2659	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
73	26, 72	eqtr4d 2659	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090

This theorem is referenced by:  bclbnd  25005