bddiblnc - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem bddiblnc 33480

Description: Choice-free proof of bddibl 23606. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
bddiblnc	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Distinct variable group: 𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddiblnc Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbff 23394	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6249	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
3	2	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
4		rzal 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0)
5		mpteq12 4736	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
6	4, 5	mpdan 702	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
7		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0)
8		0mbl 23307	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
9		ibl0 23553	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹
11	7, 10	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0) ∈ 𝐿¹
12	6, 11	syl6eqel 2709	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 = ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
14		r19.2z 4060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
15	14	anim1i 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
16	15	an31s 848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
17	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19	18	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))
20		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ∈ ℝ)
21	18	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
22		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
23		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
25	19, 24	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
26	25	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
27	26	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥)))
28	27	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝑥)))
29	28	imp32 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝑥)
30	16, 29	sylan2 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅)) → 0 ≤ 𝑥)
31	30	anassrs 680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑥)
32		an32 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
33		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ MblFn)
34	2, 33	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
36	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
37	36	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
38	37	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
40	39	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
42		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
43	40, 41, 42	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
44		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
46	43, 45	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
48	46, 47	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
49		mbfdm 23395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
51		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
52		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
53	52	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
54	53	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
55		itg2const 23507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
56	50, 51, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
57		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
58	57, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)) ∈ ℝ)
59	56, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ)
60		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
61		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥))
62	61	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
63	60, 62	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
66		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
67	65, 44, 66	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
69	67, 68	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
70		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
71	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72	71	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
73	72	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
74	72	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
75	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	72	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
79	78	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥))
80	79	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
81	80	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
82	81	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
83	73, 74, 75, 76, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
84		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
86		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
87		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
88	86, 87	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
89	83, 85, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
90		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
92		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
94	89, 91, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
96		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 0
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → 0 ≤ 0)
98		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
99		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 0)
100	97, 98, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
101	95, 100	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
102	70, 101	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
103	102	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
104		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
106		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
107		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
108	105, 46, 67, 106, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
109	103, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
110		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
111	48, 69, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
112		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
113	48, 59, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
114	38	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
115	114	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
116	115	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
118		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
119	116, 117, 118	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
120	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
121	119, 120	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
123	121, 122	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
124		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
125	73	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
126	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
127	126	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
128	125	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
129	126	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
130	128, 129	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
131		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
132	72, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
133	125, 127, 74, 130, 132	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
134	125, 74, 75, 133, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
135		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
136		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
137	135, 136	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
138	134, 85, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
139		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
141	138, 140, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
142	141	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
143		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
144	97, 143, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
145	142, 144	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
146	124, 145	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
147	146	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
148		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
149	105, 121, 67, 148, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
150	147, 149	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
151		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
152	123, 69, 150, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
153		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
154	123, 59, 152, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
155	113, 154	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
156	37	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
157	156	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
158	157	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
159		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
160		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
161	158, 159, 160	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
162	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
163	161, 162	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
164		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
165	163, 164	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
166		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
167	72	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
169	168	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
170	167	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
171		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
172	72, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
173	167, 169, 74, 170, 172	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
174	167, 74, 75, 173, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
175		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
176		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
177	175, 176	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
178	174, 85, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
179		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
181	178, 180, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
182	181	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
183		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
184	97, 183, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
185	182, 184	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
186	166, 185	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
187	186	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
188		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
189	105, 163, 67, 188, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
190	187, 189	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
191		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
192	165, 69, 190, 191	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
193		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
194	165, 59, 192, 193	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
195	156	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
196	195	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
197	196	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
198		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
199		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
200	197, 198, 199	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
201	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
202	200, 201	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
203		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
204	202, 203	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
205		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
206	167	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
207	206	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
208	168	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
209	207, 208	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
210	206, 169, 74, 209, 172	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
211	206, 74, 75, 210, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
212		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
213		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
214	212, 213	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
215	211, 85, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
216		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
217	216	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
218	215, 217, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
219	218	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
220		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
221	97, 220, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
222	219, 221	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
223	205, 222	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
224	223	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
225		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
226	105, 202, 67, 225, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
227	224, 226	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
228		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
229	204, 69, 227, 228	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
230		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
231	204, 59, 229, 230	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
232	194, 231	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
233		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
234		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
235		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
236		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
237	233, 234, 235, 236, 72	iblcnlem1 23554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹ ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))))
238	35, 155, 232, 237	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
239	32, 238	sylan2b 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
240	239	anassrs 680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
241	31, 240	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
242	13, 241	pm2.61dane 2881	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
243	242	rexlimdvaa 3032	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹))
244	243	3impia 1261	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
245	3, 244	eqeltrd 2701	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 Vcvv 3200 ∅c0 3915 ifcif 4086 {csn 4177 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 × cxp 5112 dom cdm 5114 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ∘_𝑟 cofr 6896 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 · cmul 9941 +∞cpnf 10071 ℝ^*cxr 10073 ≤ cle 10075 -cneg 10267 [,)cico 12177 [,]cicc 12178 ℜcre 13837 ℑcim 13838 abscabs 13974 volcvol 23232 MblFncmbf 23383 ∫₂citg2 23385 𝐿¹cibl 23386

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-0p 23437

This theorem is referenced by: cnicciblnc 33481

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