Theorem bddiblnc 33480

Description: Choice-free proof of bddibl 23606. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
bddiblnc	|- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> F e. L^1 )

Distinct variable group:   x, y, F

Proof of Theorem bddiblnc

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbff 23394	. . . 4 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
2	1	feqmptd 6249	. . 3 |- ( F e. MblFn -> F = ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) )
3	2	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> F = ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) )
4		rzal 4073	. . . . . . . 8 |- ( dom F = (/) -> A. z e. dom F ( F ` z ) = 0 )
5		mpteq12 4736	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F = (/) /\ A. z e. dom F ( F ` z ) = 0 ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) = ( z e. (/) |-> 0 ) )
6	4, 5	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( dom F = (/) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) = ( z e. (/) |-> 0 ) )
7		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( (/) X. { 0 } ) = ( z e. (/) |-> 0 )
8		0mbl 23307	. . . . . . . . 9 |- (/) e. dom vol
9		ibl0 23553	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom vol -> ( (/) X. { 0 } ) e. L^1 )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( (/) X. { 0 } ) e. L^1
11	7, 10	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 |- ( z e. (/) |-> 0 ) e. L^1
12	6, 11	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( dom F = (/) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
13	12	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ dom F = (/) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
14		r19.2z 4060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F =/= (/) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
15	14	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( dom F =/= (/) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ x e. RR ) -> ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ x e. RR ) )
16	15	an31s 848	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ dom F =/= (/) ) -> ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ x e. RR ) )
17	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> F : dom F --> CC )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> ( F ` y ) e. CC )
19	18	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` y ) ) )
20		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> 0 e. RR )
21	18	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` y ) ) e. RR )
22		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> x e. RR )
23		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( abs ` ( F ` y ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( abs ` ( F ` y ) ) /\ ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> 0 <_ x ) )
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> ( ( 0 <_ ( abs ` ( F ` y ) ) /\ ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> 0 <_ x ) )
25	19, 24	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) /\ y e. dom F ) -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> 0 <_ x ) )
26	25	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> 0 <_ x ) )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) -> ( x e. RR -> ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> 0 <_ x ) ) )
28	27	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) -> ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> ( x e. RR -> 0 <_ x ) ) )
29	28	imp32 449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( E. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ x e. RR ) ) -> 0 <_ x )
30	16, 29	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ dom F =/= (/) ) ) -> 0 <_ x )
31	30	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ dom F =/= (/) ) -> 0 <_ x )
32		an32 839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ 0 <_ x ) <-> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
33		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. MblFn -> F e. MblFn )
34	2, 33	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. MblFn -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. MblFn )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. MblFn )
36	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> F : dom F --> CC )
37	36	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
38	37	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR )
39	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* )
40	39	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) )
42		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Re ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) )
43	40, 41, 42	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ -. ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
46	43, 45	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
48	46, 47	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
49		mbfdm 23395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> dom F e. dom vol )
51		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( vol ` dom F ) e. RR )
52		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
53	52	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
54	53	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
55		itg2const 23507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F e. dom vol /\ ( vol ` dom F ) e. RR /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) = ( x x. ( vol ` dom F ) ) )
56	50, 51, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) = ( x x. ( vol ` dom F ) ) )
57		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. RR )
58	57, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( x x. ( vol ` dom F ) ) e. RR )
59	56, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) e. RR )
60		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
61		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
62	61	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
63	60, 62	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
66		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z e. dom F , x , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
67	65, 44, 66	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( z e. dom F , x , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) )
69	67, 68	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
70		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) = if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 )
71	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> F : dom F --> CC )
72	71	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
73	72	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR )
74	72	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
75	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> x e. RR )
76	72	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = z -> ( abs ` ( F ` y ) ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
79	78	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = z -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x ) )
80	79	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
81	80	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
82	81	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ x )
83	73, 74, 75, 76, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x )
84		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> 0 <_ x )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> 0 <_ x )
86		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re ` ( F ` z ) ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
87		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ x <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
88	86, 87	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x /\ 0 <_ x ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
89	83, 85, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
90		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
92		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , x , 0 ) = x )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , x , 0 ) = x )
94	89, 91, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
96		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 0
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> 0 <_ 0 )
98		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
99		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , x , 0 ) = 0 )
100	97, 98, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
101	95, 100	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
102	70, 101	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
103	102	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
104		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> RR e. _V )
106		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
107		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
108	105, 46, 67, 106, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
109	103, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
110		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
111	48, 69, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
112		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
113	48, 59, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
114	38	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR )
115	114	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* )
116	115	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* )
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) )
118		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR* /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) )
119	116, 117, 118	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
120	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ -. ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
121	119, 120	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
123	121, 122	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
124		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) = if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 )
125	73	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) e. RR )
126	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Re ` ( F ` z ) ) e. CC )
127	126	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` z ) ) ) e. RR )
128	125	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) )
129	126	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` z ) ) ) )
130	128, 129	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( Re ` ( F ` z ) ) ) )
131		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` z ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
132	72, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
133	125, 127, 74, 130, 132	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
134	125, 74, 75, 133, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x )
135		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -u ( Re ` ( F ` z ) ) = if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x <-> if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
136		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ x <-> if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
137	135, 136	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u ( Re ` ( F ` z ) ) <_ x /\ 0 <_ x ) -> if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
138	134, 85, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
139		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
141	138, 140, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
142	141	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
143		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
144	97, 143, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
145	142, 144	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
146	124, 145	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
147	146	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
148		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
149	105, 121, 67, 148, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
150	147, 149	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
151		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
152	123, 69, 150, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
153		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
154	123, 59, 152, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
155	113, 154	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
156	37	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR )
157	156	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* )
158	157	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* )
159		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) )
160		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Im ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
161	158, 159, 160	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
162	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ -. ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
163	161, 162	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
164		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
165	163, 164	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
166		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) = if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 )
167	72	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR )
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) e. CC )
169	168	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) e. RR )
170	167	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
171		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` z ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
172	72, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
173	167, 169, 74, 170, 172	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
174	167, 74, 75, 173, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x )
175		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Im ` ( F ` z ) ) = if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x <-> if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
176		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ x <-> if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
177	175, 176	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x /\ 0 <_ x ) -> if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
178	174, 85, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
179		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
181	178, 180, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
182	181	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
183		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
184	97, 183, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
185	182, 184	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
186	166, 185	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
187	186	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
188		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
189	105, 163, 67, 188, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
190	187, 189	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
191		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
192	165, 69, 190, 191	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
193		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
194	165, 59, 192, 193	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
195	156	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR )
196	195	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* )
197	196	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* )
198		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) )
199		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR* /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
200	197, 198, 199	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
201	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) /\ -. ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
202	200, 201	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. RR ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
203		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
204	202, 203	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
205		ifan 4134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) = if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 )
206	167	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) e. RR )
207	206	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
208	168	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> ( abs ` -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
209	207, 208	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` z ) ) ) )
210	206, 169, 74, 209, 172	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
211	206, 74, 75, 210, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x )
212		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -u ( Im ` ( F ` z ) ) = if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x <-> if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
213		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ x <-> if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x ) )
214	212, 213	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u ( Im ` ( F ` z ) ) <_ x /\ 0 <_ x ) -> if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
215	211, 85, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ x )
216		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
217	216	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) )
218	215, 217, 93	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ z e. dom F ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
219	218	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
220		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
221	97, 220, 99	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. dom F -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
222	219, 221	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( z e. dom F , if ( 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
223	205, 222	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
224	223	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) )
225		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) = ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
226	105, 202, 67, 225, 107	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) <-> A. z e. RR if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) <_ if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
227	224, 226	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) )
228		itg2le 23506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) oR <_ ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
229	204, 69, 227, 228	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) )
230		itg2lecl 23505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( z e. dom F , x , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
231	204, 59, 229, 230	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
232	194, 231	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
233		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
234		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
235		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
236		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) )
237	233, 234, 235, 236, 72	iblcnlem1 23554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 <-> ( ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. MblFn /\ ( ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Re ` ( F ` z ) ) ) , ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Re ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Re ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ ( Im ` ( F ` z ) ) ) , ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( z e. RR |-> if ( ( z e. dom F /\ 0 <_ -u ( Im ` ( F ` z ) ) ) , -u ( Im ` ( F ` z ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) )
238	35, 155, 232, 237	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
239	32, 238	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) /\ 0 <_ x ) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
240	239	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ 0 <_ x ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
241	31, 240	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) /\ dom F =/= (/) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
242	13, 241	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) /\ ( x e. RR /\ A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
243	242	rexlimdvaa 3032	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR ) -> ( E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 ) )
244	243	3impia 1261	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> ( z e. dom F |-> ( F ` z ) ) e. L^1 )
245	3, 244	eqeltrd 2701	1 |- ( ( F e. MblFn /\ ( vol ` dom F ) e. RR /\ E. x e. RR A. y e. dom F ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) -> F e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   -ucneg 10267   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  cnicciblnc  33481