clwlkclwwlklem2a1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a1 26893

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑖)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
2		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
4	3	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
6		sub1m1 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
7	5, 6	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) − 2)))
11	10	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
12	11	biimpcd 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
15	14	impcom 446	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
22		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
27	16, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
30		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
33	32	preq2d 4275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
36	35	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
37	36	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
39	38	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
40	39	impcom 446	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ V)
42		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
43		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
45	42, 44	preq12d 4276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
46	45	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
47	46	ralunsn 4422	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
48	41, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
49	15, 40, 48	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
50		1e2m1 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
53	52, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
55	54	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
56		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
57		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
59	56, 58	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
60	59	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
61		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
62		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
64	61, 63	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
65	60, 64	jctild 566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
67	66	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
68		elnn0z 11390	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀)
70		elnn0uz 11725	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
72		fzosplitsn 12576	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
74	55, 73	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
75	74	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
76	75	raleqdv 3144	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
77	49, 76	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
78	77	ex 450	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 Vcvv 3200 ∪ cun 3572 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ran crn 5115 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ≤ cle 10075 − cmin 10266 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ..^cfzo 12465 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 26899

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