Theorem clwlkclwwlklem2a1 26893

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   i, E   P, i

Allowed substitution hint:   V( i)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 )
2		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. CC )
3		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. CC )
4	3	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) = ( ( # ` P ) - 1 ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) )
6		sub1m1 11284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) )
7	5, 6	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) )
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Word V -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
11	10	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
12	11	biimpcd 239	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
14	13	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
15	14	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E )
16		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Word V -> ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
17		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 - 1 ) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Word V -> ( 2 - 1 ) = 1 )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Word V -> 1 = ( 2 - 1 ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - ( 2 - 1 ) ) )
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. CC )
22		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Word V -> 2 e. CC )
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Word V -> 1 e. CC )
24	21, 22, 23	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) - ( 2 - 1 ) ) = ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) )
25	20, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Word V -> ( P ` ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
27	16, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Word V -> ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
30		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) ) )
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
33	32	preq2d 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } = { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E <-> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) )
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) )
36	35	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) ) )
37	36	com13 88	. . . . . . 7 |- ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) ) )
38	37	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) ) )
39	38	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) )
40	39	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E )
41		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. _V )
42		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( i + 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( i = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
45	42, 44	preq12d 4276	. . . . . . 7 |- ( i = ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( i = ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) )
47	46	ralunsn 4422	. . . . 5 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. _V -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) ) )
48	41, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) } e. ran E ) ) )
49	15, 40, 48	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> A. i e. ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E )
50		1e2m1 11136	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 2 - 1 )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Word V -> 1 = ( 2 - 1 ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - ( 2 - 1 ) ) )
53	52, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( P e. Word V -> ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) )
56		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. RR )
57		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 e. RR )
59	56, 58	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) <-> 2 <_ ( # ` P ) ) )
60	59	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
61		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. ZZ )
62		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 e. ZZ )
64	61, 63	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ )
65	60, 64	jctild 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) )
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Word V -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
68		elnn0z 11390	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) )
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 )
70		elnn0uz 11725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN0 <-> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
72		fzosplitsn 12576	. . . . . . 7 |- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( 0..^ ( ( ( # ` P ) - 2 ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) )
74	55, 73	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) )
75	74	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) )
76	75	raleqdv 3144	. . 3 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> A. i e. ( ( 0..^ ( ( # ` P ) - 2 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 2 ) } ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
77	49, 76	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E )
78	77	ex 450	1 |- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  26899