Theorem cnfldnm 22582

Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldnm	⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10032	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cnmetdval 22574	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
4	1, 3	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
5		subid1 10301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
6	5	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
7	4, 6	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑥))
8	7	mpteq2ia 4740	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
9		eqid 2622	. . 3 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
10		cnfldbas 19750	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 19770	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnfldds 19756	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
13	9, 10, 11, 12	nmfval 22393	. 2 ⊢ (norm‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0))
14		absf 14077	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6249	. . 3 ⊢ (⊤ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
17	16	trud 1493	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
18	8, 13, 17	3eqtr4ri 2655	1 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ↦ cmpt 4729   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   − cmin 10266  abscabs 13974  ℂ_fldccnfld 19746  normcnm 22381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747  df-nm 22387

This theorem is referenced by:  cnngp  22583  cnnrg  22584  abscn  22649  clmabs  22883  isncvsngp  22949  cnnm  22960  cnncvsabsnegdemo  22965  tchcph  23036  zringnm  30004  cnzh  30014  rezh  30015