Theorem cnfldbas 19750

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10017	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnfldstr 19748	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		baseid 15919	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4347	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 3776	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 3776	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 19747	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtr4i 3638	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3612	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3612	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 15907	. 2 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572  {csn 4177  {ctp 4181  ⟨cop 4183   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  3c3 11071  ;cdc 11493  ∗ccj 13836  abscabs 13974  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  *_𝑟cstv 15943  TopSetcts 15947  lecple 15948  distcds 15950  UnifSetcunif 15951  MetOpencmopn 19736  metUnifcmetu 19737  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  cncrng  19767  cnfld0  19770  cnfld1  19771  cnfldneg  19772  cnfldplusf  19773  cnfldsub  19774  cndrng  19775  cnflddiv  19776  cnfldinv  19777  cnfldmulg  19778  cnfldexp  19779  cnsrng  19780  cnsubmlem  19794  cnsubglem  19795  cnsubrglem  19796  cnsubdrglem  19797  absabv  19803  cnsubrg  19806  cnmgpabl  19807  cnmgpid  19808  cnmsubglem  19809  gzrngunit  19812  gsumfsum  19813  regsumfsum  19814  expmhm  19815  nn0srg  19816  rge0srg  19817  zringbas  19824  zring0  19828  zringunit  19836  expghm  19844  cnmsgnbas  19924  psgninv  19928  zrhpsgnmhm  19930  rebase  19952  re0g  19958  regsumsupp  19968  cnfldms  22579  cnfldnm  22582  cnfldtopn  22585  cnfldtopon  22586  clmsscn  22879  cnlmod  22940  cnstrcvs  22941  cnrbas  22942  cncvs  22945  cnncvsaddassdemo  22963  cnncvsmulassdemo  22964  cnncvsabsnegdemo  22965  cphsubrglem  22977  cphreccllem  22978  cphdivcl  22982  cphabscl  22985  cphsqrtcl2  22986  cphsqrtcl3  22987  cphipcl  22991  4cphipval2  23041  cncms  23151  cnflduss  23152  cnfldcusp  23153  resscdrg  23154  ishl2  23166  recms  23168  tdeglem3  23819  tdeglem4  23820  tdeglem2  23821  plypf1  23968  dvply2g  24040  dvply2  24041  dvnply  24043  taylfvallem  24112  taylf  24115  tayl0  24116  taylpfval  24119  taylply2  24122  taylply  24123  efgh  24287  efabl  24296  efsubm  24297  jensenlem1  24713  jensenlem2  24714  jensen  24715  amgmlem  24716  amgm  24717  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  dchrelbas2  24962  dchrelbas3  24963  dchrn0  24975  dchrghm  24981  dchrabs  24985  sum2dchr  24999  lgseisenlem4  25103  qrngbas  25308  cchhllem  25767  cffldtocusgr  26343  xrge0slmod  29844  psgnid  29847  iistmd  29948  xrge0iifmhm  29985  xrge0pluscn  29986  zringnm  30004  cnzh  30014  rezh  30015  cnrrext  30054  esumpfinvallem  30136  cnpwstotbnd  33596  repwsmet  33633  rrnequiv  33634  cnsrexpcl  37735  fsumcnsrcl  37736  cnsrplycl  37737  rngunsnply  37743  proot1ex  37779  deg1mhm  37785  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  sge0tsms  40597  cnfldsrngbas  41769  2zrng0  41938  aacllem  42547  amgmwlem  42548  amgmlemALT  42549  amgmw2d  42550