Theorem cusgrfi 26354

Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfielex 8189	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝑉)
2		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
4	3	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
5	4	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
6	5	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
8	2, 6, 7	cusgrfilem3 26353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
9	8	notbid 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
10	9	biimpac 503	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
11	2, 6	cusgrfilem1 26351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12		cusgrfi.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
15	14	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
16	13, 15	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
17	16	con3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	expcom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
20	19	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
22	10, 21	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
23	1, 22	exlimddv 1863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
25	24	con4d 114	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
26	25	imp 445	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  ComplUSGraphccusgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231  df-cusgr 26232

This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  26358