Theorem evls1rhmlem 19686

Description: Lemma for evl1rhm 19696 and evls1rhm 19687 (formerly part of the proof of evl1rhm 19696): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1rhmlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1rhmlem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))

Assertion

Ref	Expression
evls1rhmlem	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1rhmlem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
2		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V
3		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
4		evl1rhmlem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	pwsbas 16147	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
6	2, 5	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
7	6	mpteq1d 4738	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
8	1, 7	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
9		evl1rhmlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s 𝐵)
10		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))
11		crngring 18558	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
15	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V)
16		df1o2 7572	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
17		0ex 4790	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
19	16, 13, 17, 18	mapsnf1o3 7906	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜)
20		f1of 6137	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
22	9, 3, 10, 11, 14, 15, 21	pwsco1rhm 18738	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
23	8, 22	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  Basecbs 15857   ↑_s cpws 16107  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715

This theorem is referenced by:  evls1rhm  19687  evl1rhm  19696