Theorem pwsco1rhm 18738

Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco1rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco1rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
pwsco1rhm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco1rhm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pwsco1rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsco1rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco1rhm.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsco1rhm.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		pwsco1rhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
4	3	pwsring 18615	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
6		pwsco1rhm.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		pwsco1rhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
8	7	pwsring 18615	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
9	1, 6, 8	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10	5, 9	jca 554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring))
11		pwsco1rhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
12		ringmnd 18556	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		pwsco1rhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	7, 3, 11, 13, 6, 2, 14	pwsco1mhm 17370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
16		ringgrp 18552	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
18		ringgrp 18552	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
19	9, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
20		ghmmhmb 17671	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
21	17, 19, 20	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
22	15, 21	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
23		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
24		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
25		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
26		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
27	26	ringmgp 18553	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
29	23, 24, 25, 28, 6, 2, 14	pwsco1mhm 17370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
30		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	3, 30	pwsbas 16147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
32	13, 2, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
33	32, 11	syl6eqr 2674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = 𝐶)
34	26, 30	mgpbas 18495	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
35	24, 34	pwsbas 16147	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
36	28, 2, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
37	33, 36	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
38	37	mpteq1d 4738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)))
39		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
40		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
41		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
44		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
45	3, 26, 24, 41, 42, 25, 43, 44	pwsmgp 18618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
46	1, 2, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
47	46	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
49		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
50		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
52		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
53	7, 26, 23, 48, 49, 50, 51, 52	pwsmgp 18618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
54	1, 6, 53	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
55	54	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
56	46	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
57	56	oveqdr 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
58	54	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
59	58	oveqdr 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
60	39, 40, 47, 55, 57, 59	mhmpropd 17341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
61	29, 38, 60	3eltr4d 2716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
62	22, 61	jca 554	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
63	41, 48	isrhm 18721	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
64	10, 62, 63	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ↦ cmpt 4729   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   ↑_s cpws 16107  Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547   RingHom crh 18712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715

This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  19686