Theorem log2ublem3 24675

Description: Lemma for log2ub 24676. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
log2ublem3	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056

Proof of Theorem log2ublem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 11110	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
2		risefall0lem 14757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
3	2	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4		sum0 14452	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
5	3, 4	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
6	5	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7		3cn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
8		7nn0 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
11		5cn 11100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
12		7cn 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
14	10, 13	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
15	14	mul01i 10226	. . . . . . . 8 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
16	6, 15	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mul01i 10226	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
19	1, 16, 18	3brtr4i 4683	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		5nn0 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
23	21, 22	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
24	23, 22	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;255 ∈ ℕ0
25		1nn0 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	24, 25	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;2551 ∈ ℕ0
27	26, 22	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;;25515 ∈ ℕ0
28		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) = (0 − 1)
29	27	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;25515 ∈ ℂ
30	29	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;;;;25515) = ;;;;25515
31		3nn0 11310	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	7	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
33	29	mulid2i 10043	. . . . . . 7 ⊢ (1 · ;;;;25515) = ;;;;25515
34	18	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35		0p1e1 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
36	34, 35	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
37	36	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 0) + 1) · ;;;;25515) = (1 · ;;;;25515)
38	22, 8	nn0mulcli 11331	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ0
39	8, 21	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
40		9nn0 11316	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ0
41		2p1e3 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
42		8nn0 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
43		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
44		9cn 11108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
45		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9↑1) = 9
47	46	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48		9t9e81 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 · 9) = ;81
49	47, 48	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9↑1) · 9) = ;81
50	40, 25, 43, 49	numexpp1 15782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑2) = ;81
51		8cn 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		9t8e72 11669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 8) = ;72
53	44, 51, 52	mulcomli 10047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 · 9) = ;72
54	44	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
55	40, 42, 25, 50, 40, 53, 54	decmul1 11585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑2) · 9) = ;;729
56	40, 21, 41, 55	numexpp1 15782	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑3) = ;;729
57	31, 25	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
58		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;72 = ;72
59		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 = ;31
60		7t5e35 11651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · 5) = ;35
61	12, 11, 60	mulcomli 10047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) = ;35
62		7p3e10 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + 3) = ;10
63	12, 7, 62	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 7) = ;10
64		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
65		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
66	7, 64, 65	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 3) = 4
67	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
69		7t3e21 11649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 3) = ;21
70	12, 7, 69	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 7) = ;21
71		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
72		4p1e5 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = 5
73	71, 64, 72	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 4) = 5
74	21, 25, 68, 70, 73	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 4) = ;25
75	67, 74	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 7) + (1 + 3)) = ;25
76	61	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 0) = (;35 + 0)
77	31, 22	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;35 ∈ ℕ0
78	77	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;35 ∈ ℂ
79	78	addid1i 10223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;35 + 0) = ;35
80	76, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 0) = ;35
81	31, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = ;;255
82	25	dec0h 11522	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = ;01
83		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
84	83, 35	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85		6p1e7 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 1) = 7
86	84, 85	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87		5t2e10 11634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 2) = ;10
88	25, 20, 35, 87	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 2) + 1) = ;11
89	31, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 · 7) · 2) + 1) = ;71
90	8, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 · 7) · ;72) + ;31) = ;;;2551
91		9t3e27 11664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
92	44, 7, 91	mulcomli 10047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
93		7p4e11 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 4) = ;11
94	21, 8, 68, 92, 41, 25, 93	decaddci 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 9) + 4) = ;31
95		9t5e45 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 5) = ;45
96	44, 11, 95	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 9) = ;45
97	40, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96	decmul1c 11587	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 7) · 9) = ;;315
98	38, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = ;;;;25515
99	33, 37, 98	3eqtr4ri 2655	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · ;;;;25515)
100	19, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99	log2ublem2 24674	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · ;;;;25515)
101	40, 68	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;94 ∈ ℕ0
102	101, 22	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;945 ∈ ℕ0
103		1m1e0 11089	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
104		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;;;25515 = ;;;;25515
105		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;945 = ;;945
106		6nn0 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
107	21, 106	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
108	107, 68	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;264 ∈ ℕ0
109		5p1e6 11155	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
110		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;2551 = ;;;2551
111		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;94 = ;94
112		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;255 = ;;255
113		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 = ;25
114	21, 22, 109, 113	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (;25 + 1) = ;26
115		9p5e14 11623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 5) = ;14
116	44, 11, 115	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 9) = ;14
117	23, 22, 40, 112, 114, 68, 116	decaddci 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (;;255 + 9) = ;;264
118	24, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73	decadd 11570	. . . . . . 7 ⊢ (;;;2551 + ;94) = ;;;2645
119	108, 22, 109, 118	decsuc 11535	. . . . . 6 ⊢ ((;;;2551 + ;94) + 1) = ;;;2646
120		5p5e10 11596	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
121	26, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120	decaddc2 11575	. . . . 5 ⊢ (;;;;25515 + ;;945) = ;;;;26460
122	44	sqvali 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑2) = (9 · 9)
123		3t3e9 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) = 9
124	123	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
125	7, 7, 44	mulassi 10049	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126	122, 124, 125	3eqtr2i 2650	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127	126	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
128	7, 44	mulcli 10045	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 9) ∈ ℂ
129	13, 7, 128	mul12i 10231	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
130	21, 68	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
131		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;24 = ;24
132	83, 41	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133		6p3e9 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
135	71	addid2i 10224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 4) = 4
136	25, 20, 68, 87, 135	decaddi 11579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 2) + 4) = ;14
137	31, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 · 7) · 2) + ;24) = ;94
138	21, 25, 31, 70, 66	decaddi 11579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 7) + 3) = ;24
139	8, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61	decmul1c 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · 7) = ;;245
140	38, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 7) · (3 · 9)) = ;;945
141	140	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · ;;945)
142	129, 141	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ;;945)
143		df-3 11080	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
144	17	mulid1i 10042	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
145	144	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146	143, 145	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 ⊢ 3 = ((2 · 1) + 1)
147	146	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;;945) = (((2 · 1) + 1) · ;;945)
148	127, 142, 147	3eqtri 2648	. . . . 5 ⊢ ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · ;;945)
149	100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148	log2ublem2 24674	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · ;;;;26460)
150	108, 106	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;2646 ∈ ℕ0
151	150, 20	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;26460 ∈ ℕ0
152	106, 31	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
153		2m1e1 11135	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
154		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;26460 = ;;;;26460
155		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;63 = ;63
156		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;;2646 = ;;;2646
157		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;264 = ;;264
158	107, 68, 72, 157	decsuc 11535	. . . . . 6 ⊢ (;;264 + 1) = ;;265
159		6p6e12 11602	. . . . . 6 ⊢ (6 + 6) = ;12
160	108, 106, 106, 156, 158, 21, 159	decaddci 11580	. . . . 5 ⊢ (;;;2646 + 6) = ;;;2652
161	7	addid2i 10224	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = 3
162	150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161	decadd 11570	. . . 4 ⊢ (;;;;26460 + ;63) = ;;;;26523
163		1p2e3 11152	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
164	46	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
165	11, 12, 44	mulassi 10049	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166		9t7e63 11668	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
167	44, 12, 166	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
168	167	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ (5 · (7 · 9)) = (5 · ;63)
169	165, 168	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((5 · 7) · 9) = (5 · ;63)
170		df-5 11082	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
171		2t2e4 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
172	171	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173	170, 172	eqtr4i 2647	. . . . . 6 ⊢ 5 = ((2 · 2) + 1)
174	173	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (5 · ;63) = (((2 · 2) + 1) · ;63)
175	164, 169, 174	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · ;63)
176	149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175	log2ublem2 24674	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · ;;;;26523)
177	107, 22	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;265 ∈ ℕ0
178	177, 21	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;2652 ∈ ℕ0
179	178, 31	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;26523 ∈ ℕ0
180		3m1e2 11137	. . 3 ⊢ (3 − 1) = 2
181		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;26523 = ;;;;26523
182		5p3e8 11166	. . . . 5 ⊢ (5 + 3) = 8
183	11, 7, 182	addcomli 10228	. . . 4 ⊢ (3 + 5) = 8
184	178, 31, 22, 181, 183	decaddi 11579	. . 3 ⊢ (;;;;26523 + 5) = ;;;;26528
185	12, 11	mulcli 10045	. . . . 5 ⊢ (7 · 5) ∈ ℂ
186	185	mulid1i 10042	. . . 4 ⊢ ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
187	11, 12	mulcomi 10046	. . . . 5 ⊢ (5 · 7) = (7 · 5)
188		exp0 12864	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
189	44, 188	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (9↑0) = 1
190	187, 189	oveq12i 6662	. . . 4 ⊢ ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
191	7, 17, 83	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = 6
192	191	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193		df-7 11084	. . . . . 6 ⊢ 7 = (6 + 1)
194	192, 193	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
195	194	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196	186, 190, 195	3eqtr4i 2654	. . 3 ⊢ ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197	176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196	log2ublem2 24674	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · ;;;;26528)
198		eqid 2622	. . 3 ⊢ ;;;;26528 = ;;;;26528
199		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;2652 = ;;;2652
200		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;265 = ;;265
201		00id 10211	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
202	20	dec0h 11522	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
203	201, 202	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = ;00
204		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;26 = ;26
205	35, 82	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = ;01
206	171, 35	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207	206, 72	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208		6cn 11102	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
209		6t2e12 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · 2) = ;12
210	208, 17, 209	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) = ;12
211	25, 21, 41, 210	decsuc 11535	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
212	21, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211	decma2c 11568	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;26) + (0 + 1)) = ;53
213	11, 17, 87	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
214	213	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 0) = (;10 + 0)
215		dec10p 11553	. . . . . 6 ⊢ (;10 + 0) = ;10
216	214, 215	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + 0) = ;10
217	107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216	decma2c 11568	. . . 4 ⊢ ((2 · ;;265) + (0 + 0)) = ;;530
218	22	dec0h 11522	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
219	172, 72, 218	3eqtri 2648	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
220	177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((2 · ;;;2652) + 1) = ;;;5305
221		8t2e16 11654	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
222	51, 17, 221	mulcomli 10047	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
223	21, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222	decmul2c 11589	. 2 ⊢ (2 · ;;;;26528) = ;;;;53056
224	197, 223	breqtri 4678	1 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ℕ₀cn0 11292  ;cdc 11493  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  log2ub  24676