Theorem fdmfifsupp 8285

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		ffun 6048	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑅 → Fun 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	1, 4, 5	fdmfisuppfi 8284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑅 → 𝐹 Fn 𝐷)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
9		fnex 6481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
10	8, 4, 9	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
11		isfsupp 8279	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
12	10, 5, 11	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
13	3, 6, 12	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8286  fndmfifsupp  8288  gsummptfif1o  18367  psrmulcllem  19387  frlmfibas  20105  elfilspd  20142  tmdgsum  21899  tsmslem1  21932  tsmssubm  21946  tsmsres  21947  tsmsf1o  21948  tsmsmhm  21949  tsmsadd  21950  tsmsxplem1  21956  tsmsxplem2  21957  imasdsf1olem  22178  xrge0gsumle  22636  xrge0tsms  22637  ehlbase  23194  jensenlem2  24714  jensen  24715  amgmlem  24716  amgm  24717  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  gsumle  29779  xrge0tsmsd  29785  esumpfinvalf  30138  k0004ss2  38450  rrxbasefi  40503  sge0tsms  40597  fsuppmptdmf  42162  linccl  42203  lcosn0  42209  islinindfis  42238  snlindsntor  42260  ldepspr  42262  zlmodzxzldeplem2  42290  amgmwlem  42548  amgmlemALT  42549