Theorem amgmlem 24716

Description: Lemma for amgm 24717. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgm.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlem	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 19770	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 19768	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringabl 18580	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5		amgm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		resubdrg 19954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
7	6	simpli 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		subrgsubg 18786	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		amgm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
16		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
18	15, 5, 17	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) finSupp 0)
19	1, 4, 5, 9, 15, 18	gsumsubgcl 18320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℂ)
21		amgm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
22		hashnncl 13157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
24	21, 23	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 11036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24	nnne0d 11065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ≠ 0)
27	20, 25, 26	divnegd 10814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)))
28	12	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	5, 28	gsumfsum 19813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
30	28	negnegd 10383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → --(log‘(𝐹‘𝑘)) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
31	30	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
32	13	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
33	5, 32	fsumneg 14519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
34	29, 31, 33	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
35	5, 32	gsumfsum 19813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
36	35	negeqd 10275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
37	10	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38		relogf1o 24313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
39		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
41	40	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
42		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
43	42	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
44	41, 43	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
46	11, 37, 44, 45	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘))))
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
48	34, 36, 47	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
49		amgm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
51	50	rpmsubg 19810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
52		subgsubm 17616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
54		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cndrng 19775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
56	54, 1, 55	drngui 18753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
57	56, 49	unitsubm 18670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
59	58	subsubm 17357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
60	2, 57, 59	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
61	53, 60	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
62	61	simpli 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
64	63	submbas 17355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
65	62, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
66		cnfld1 19771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
67	49, 66	ringidval 18503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
68	63, 67	subm0 17356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
69	62, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
70		cncrng 19767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ CRing
71	49	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
73	63	submmnd 17354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
74	62, 73	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
75	63	subcmn 18242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
76	72, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
77		df-refld 19951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
78	77	subrgring 18783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
79	7, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ Ring
80		ringmnd 18556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
81	79, 80	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
82	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
83	82	reloggim 24345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
84		gimghm 17706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
86		ghmmhm 17670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
87	85, 86	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
88		1ex 10035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
90	10, 5, 89	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
91	65, 69, 76, 81, 5, 87, 10, 90	gsummhm 18338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
92		subgsubm 17616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93	9, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
94		fco 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
95	40, 10, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
96	5, 93, 95, 77	gsumsubm 17373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
97	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
98	5, 97, 10, 63	gsumsubm 17373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
100	91, 96, 99	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
101	67, 72, 5, 97, 10, 90	gsumsubmcl 18319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
102		fvres 6207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
104	48, 100, 103	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
105	104	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)))
106	101	relogcld 24369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
108	107, 25, 26	divrec2d 10805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
109	27, 105, 108	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
110	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
111	11	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
112	5, 111	gsumfsum 19813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
113	110, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
114	5, 21, 11	fsumrpcl 14468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
115	113, 114	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
116	24	nnrpd 11870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ+)
117	115, 116	rpdivcld 11889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 24369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ)
119	19, 24	nndivred 11069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
120		rpssre 11843	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
121	120	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
122		relogcl 24322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
124	123	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
125		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
126	124, 125	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
127		ioorp 12251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
128	127	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
129	127	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
130		iccssioo2 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
131	128, 129, 130	syl2anbr 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
132	131, 127	syl6sseq 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
133	132	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
134	24	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
135	116	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+)
136	135	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (#‘𝐴)))
137		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (#‘𝐴))))
138	134, 136, 137	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
139		fconst6g 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (#‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
141		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
142		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))
143	142	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
144		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
145	2, 144	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
146	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
147		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
148	54, 147	gsumconst 18334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
149	145, 5, 146, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))))
150	24	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
151		cnfldmulg 19778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
152	150, 146, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (#‘𝐴))) = ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))))
153	25, 26	recidd 10796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) · (1 / (#‘𝐴))) = 1)
154	149, 152, 153	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴)))) = 1)
155	143, 154	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})) = 1)
156	141, 155	syl5breqr 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))
157		logccv 24409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
158	157	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
159		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
160		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
161	159, 160	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
163	162	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
164	161, 163	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
165		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
166		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
167	165, 161, 166	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
168		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
169	168	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
170	167, 169	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
171	164, 170	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
172		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
173		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
174	173, 160	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
175	121, 133	cvxcl 24711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
176	172, 162, 168, 174, 175	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
177	176	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
178	171, 177	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
179	158, 178	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
181	180	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182		negex 10279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
183	181, 125, 182	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
184	176, 183	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
186	185	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
187		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑥) ∈ V
188	186, 125, 187	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
189	162, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
191	161	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
192	163	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
193	191, 192	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
194	190, 193	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
195		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
196	195	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
197		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑦) ∈ V
198	196, 125, 197	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
199	168, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
201	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
202	169	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
203	201, 202	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
204	200, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
205	194, 204	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
206	164	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
207	170	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
208	206, 207	negdid 10405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
209	205, 208	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
210	179, 184, 209	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
211	121, 126, 133, 210	scvxcvx 24712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
212	121, 126, 133, 5, 140, 10, 156, 211	jensen 24715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))))
213	212	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))))
214	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
215	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (#‘𝐴))))
216	5, 214, 11, 215, 37	offval2 6914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘))))
217	216	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))))
218		cnfldadd 19751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
219		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
220	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
221		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))
222	111, 221	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝐴⟶ℂ)
223	222, 5, 17	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) finSupp 0)
224	54, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 111, 223	gsummulc2 18607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
225		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
226	10, 120, 225	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
227	10, 5, 17	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
228	1, 4, 5, 9, 226, 227	gsumsubgcl 18320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
229	228	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
230	229, 25, 26	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
231	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
232	230, 231	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
233	217, 224, 232	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
234	233, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1))
235	228, 24	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ)
236	235	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
237	236	div1d 10793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
238	234, 237	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
239	238	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
240		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
241	240	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
242		negex 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ V
243	241, 125, 242	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
244	117, 243	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
245	239, 244	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
246	54, 1, 218, 219, 220, 5, 146, 32, 18	gsummulc2 18607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
247		negex 10279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
249		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
250		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
251	250	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
252	11, 37, 249, 251	fmptco 6396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
253	5, 214, 248, 215, 252	offval2 6914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
254	253	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (#‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
255	20, 25, 26	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) = ((1 / (#‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
256	246, 254, 255	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)))
257	256, 155	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1))
258	119	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) ∈ ℂ)
259	258	div1d 10793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)))
260	257, 259	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}) ∘𝑓 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (#‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)))
261	213, 245, 260	3brtr3d 4684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)))
262	118, 119, 261	lenegcon1d 10609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (#‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
263	109, 262	eqbrtrrd 4677	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))
264	134, 106	remulcld 10070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
265		efle 14848	. . . 4 ⊢ ((((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
266	264, 118, 265	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴))))))
267	263, 266	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
268	101	rpcnd 11874	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
269	101	rpne0d 11877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
270	268, 269, 146	cxpefd 24458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) = (exp‘((1 / (#‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
271	117	reeflogd 24370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))
272	271	eqcomd 2628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))))
273	267, 270, 272	3brtr4d 4685	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (#‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  #chash 13117  Σcsu 14416  expce 14792  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657   GrpIso cgim 17699  CMndccmn 18193  Abelcabl 18194  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  ℝ_fldcrefld 19950  logclog 24301  ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  amgm  24717  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503