Theorem tsmsadd 21950

Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmsadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		tsmsadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
4		tmdtps 21880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmsadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmsadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 5, 6, 7	tsmscl 21938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9		tsmsadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	8, 9	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		tsmsadd.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
12	1, 2, 5, 6, 11	tsmscl 21938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13		tsmsadd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
14	12, 13	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		tsmsadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
17	1, 15, 16	plusfval 17248	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
18	10, 14, 17	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
20	1, 19	istps 20738	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
21	5, 20	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
24		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
25	22, 23, 24, 6	tsmsfbas 21931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26		fgcl 21682	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
28	1, 22, 2, 6, 7	tsmslem1 21932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
29	1, 22, 2, 6, 11	tsmslem1 21932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
30	1, 19, 22, 24, 2, 6, 7	tsmsval 21934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
31	9, 30	eleqtrd 2703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
32	1, 19, 22, 24, 2, 6, 11	tsmsval 21934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
33	13, 32	eleqtrd 2703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
34	19, 16	tmdcn 21887	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36		opelxpi 5148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37	10, 14, 36	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
38		txtopon 21394	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39	21, 21, 38	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
40		toponuni 20719	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42	37, 41	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
43		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
44	43	cncnpi 21082	. . . . 5 ⊢ (((+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
45	35, 42, 44	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
46	21, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 45	flfcnp2 21811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
47	18, 46	eqeltrrd 2702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
48		cmnmnd 18208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
49	2, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
50	1, 15	mndcl 17301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51	50	3expb 1266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52	49, 51	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
53		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
54	52, 7, 11, 6, 6, 53	off 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻):𝐴⟶𝐵)
55	1, 19, 22, 24, 2, 6, 54	tsmsval 21934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
56		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
57	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
58		elfpw 8268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
59	58	simprbi 480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
61	58	simplbi 476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
62		fssres 6070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
63	7, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
64		fssres 6070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
65	11, 61, 64	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
66		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
68	63, 60, 67	fdmfifsupp 8285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
69	65, 60, 67	fdmfifsupp 8285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
70	1, 56, 15, 57, 60, 63, 65, 68, 69	gsumadd 18323	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘𝑓 + (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
71		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
72	1, 71	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
74		fex2 7121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
75	7, 6, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
76		fex2 7121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
77	11, 6, 73, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
78		offres 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘𝑓 + (𝐻 ↾ 𝑧)))
79	75, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘𝑓 + (𝐻 ↾ 𝑧)))
80	79	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘𝑓 + (𝐻 ↾ 𝑧)))
81	80	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘𝑓 + (𝐻 ↾ 𝑧))))
82	1, 15, 16	plusfval 17248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
83	28, 29, 82	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
84	70, 81, 83	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
85	84	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
86	85	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
87	55, 86	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
88	47, 87	eleqtrrd 2704	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  ⟨cop 4183  ∪ cuni 4436   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  TopOpenctopn 16082  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  +_𝑓cplusf 17239  Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193  fBascfbas 19734  filGencfg 19735  TopOnctopon 20715  TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   ×_t ctx 21363  Filcfil 21649   fLimf cflf 21739  TopMndctmd 21874   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  tsmssub  21952  tsmssplit  21955  esumadd  30119  esumaddf  30123