Theorem jensenlem2 24714

Description: Lemma for jensen 24715. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐷)
jensen.7	⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
jensenlem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
jensenlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵))
jensenlem.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
jensenlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
jensenlem.4	⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
jensenlem.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
jensenlem2	⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 19770	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 19768	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringabl 18580	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5		jensen.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		jensenlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7	6	unssad 3790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 8180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		resubdrg 19954	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 474	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgsubg 18786	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
16		jensen.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
17		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
18		fss 6056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑇:𝐴⟶ℝ)
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶ℝ)
20		jensen.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐷)
21		jensen.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
22	20, 21	fssd 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶ℝ)
23		inidm 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
24	15, 19, 22, 5, 5, 23	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘𝑓 · 𝑋):𝐴⟶ℝ)
25	24, 7	fssresd 6071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
26		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	25, 9, 27	fdmfifsupp 8285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) finSupp 0)
29	1, 4, 9, 13, 25, 28	gsumsubgcl 18320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
31		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
32	17, 31	sstri 3612	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
33	6	unssbd 3791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34		vex 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
35	34	snss 4316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
36	33, 35	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	16, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
38	32, 37	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
39	20, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑧) ∈ 𝐷)
40	21, 39	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑧) ∈ ℂ)
42	38, 41	mulcld 10060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)) ∈ ℂ)
43		jensen.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
44		jensen.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
45		jensen.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
46		jensen.8	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
47		jensenlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
48		jensenlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵))
49		jensenlem.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
50	21, 43, 44, 5, 16, 20, 45, 46, 47, 6, 48, 49	jensenlem1 24713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑆 + (𝑇‘𝑧)))
51		jensenlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
52	51	rpred 11872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
53		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑇‘𝑧)))
54	53	simplbi 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
55	37, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
56	52, 55	readdcld 10069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + (𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	50, 56	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
58	57	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
59		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
60	51	rpgt0d 11875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)
61	53	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑇‘𝑧))
62	37, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑇‘𝑧))
63	52, 55	addge01d 10615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑇‘𝑧) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇‘𝑧))))
64	62, 63	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇‘𝑧)))
65	64, 50	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐿)
66	59, 52, 57, 60, 65	ltletrd 10197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
67	66	gt0ne0d 10592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 0)
68	30, 42, 58, 67	divdird 10839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)) / 𝐿)))
69		cnfldbas 19750	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
70		cnfldadd 19751	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
71		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
72	2, 71	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
73	7	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
74	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
75	73, 74	syldan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
76	32, 75	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
77	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ ℝ)
78	20	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐷)
79	73, 78	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐷)
80	77, 79	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
81	80	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
82	76, 81	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)) ∈ ℂ)
83		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑧))
84		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑧))
85	83, 84	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)))
86	69, 70, 72, 9, 82, 36, 47, 42, 85	gsumunsn 18359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)))) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)))) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))))
87	16	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑇‘𝑥)))
88	20	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋‘𝑥)))
89	5, 74, 78, 87, 88	offval2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))))
90	89	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
91	6	resmptd 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))))
92	90, 91	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))))
93	92	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)))))
94	89	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))) ↾ 𝐵))
95	7	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))))
96	94, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥))))
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)))))
98	97	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝑋‘𝑥)))) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))))
99	86, 93, 98	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))))
100	99	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧))) / 𝐿))
101	52	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
102	51	rpne0d 11877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
103	30, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
104	58, 101, 58, 67	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑆) / 𝐿) = ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)))
105	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑆) = ((𝑆 + (𝑇‘𝑧)) − 𝑆))
106	101, 38	pncan2d 10394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + (𝑇‘𝑧)) − 𝑆) = (𝑇‘𝑧))
107	105, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑆) = (𝑇‘𝑧))
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑆) / 𝐿) = ((𝑇‘𝑧) / 𝐿))
109	58, 67	dividd 10799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / 𝐿) = 1)
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
111	104, 108, 110	3eqtr3rd 2665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) = ((𝑇‘𝑧) / 𝐿))
112	111	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)) = (((𝑇‘𝑧) / 𝐿) · (𝑋‘𝑧)))
113	38, 41, 58, 67	div23d 10838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)) / 𝐿) = (((𝑇‘𝑧) / 𝐿) · (𝑋‘𝑧)))
114	112, 113	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)) = (((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)) / 𝐿))
115	103, 114	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧))) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇‘𝑧) · (𝑋‘𝑧)) / 𝐿)))
116	68, 100, 115	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧))))
117		jensenlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
118	52, 57, 67	redivcld 10853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ)
119	51	rpge0d 11876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
120		divge0 10892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
121	52, 119, 57, 66, 120	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
122	58	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 1) = 𝐿)
123	65, 122	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (𝐿 · 1))
124		1red 10055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
125		ledivmul 10899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
126	52, 124, 57, 66, 125	syl112anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
127	123, 126	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ≤ 1)
128		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
129		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
130	128, 129	elicc2i 12239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑆 / 𝐿) ∧ (𝑆 / 𝐿) ≤ 1))
131	118, 121, 127, 130	syl3anbrc 1246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))
132	117, 39, 131	3jca 1242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)))
133	21, 44	cvxcl 24711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))) → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧))) ∈ 𝐷)
134	132, 133	mpdan 702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧))) ∈ 𝐷)
135	116, 134	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷)
136	43, 134	ffvelrnd 6360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ∈ ℝ)
137	43, 117	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
138	118, 137	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ∈ ℝ)
139	43, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋‘𝑧)) ∈ ℝ)
140	55, 139	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) ∈ ℝ)
141	140, 57, 67	redivcld 10853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿) ∈ ℝ)
142	138, 141	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)) ∈ ℝ)
143		fco 6058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ 𝑋:𝐴⟶𝐷) → (𝐹 ∘ 𝑋):𝐴⟶ℝ)
144	43, 20, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑋):𝐴⟶ℝ)
145	15, 19, 144, 5, 5, 23	off 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)):𝐴⟶ℝ)
146	145, 7	fssresd 6071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
147	146, 9, 27	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵) finSupp 0)
148	1, 4, 9, 13, 146, 147	gsumsubgcl 18320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
149	148, 52, 102	redivcld 10853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ)
150	118, 149	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
151		resubcl 10345	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ) → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
152	129, 118, 151	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
153	152, 139	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) ∈ ℝ)
154	150, 153	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) ∈ ℝ)
155		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
157	156	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · (𝐹‘𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
161	157, 160	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
162	161	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))
163		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧))))
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))))
166		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))
167	166	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
169	165, 168	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))))
170	169	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))))
171		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
172		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (1 − 𝑡) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))
174	171, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧))) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧))))
175	174	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))))
176		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) = ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
177	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
178	176, 177	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
179	175, 178	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) ↔ (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))))
180	179	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))))
181	46	expcom 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
182	162, 170, 180, 181	vtocl3ga 3276	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))))
183	117, 39, 131, 182	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))))
184	183	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
185	111	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) = (((𝑇‘𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
186	139	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋‘𝑧)) ∈ ℂ)
187	38, 186, 58, 67	div23d 10838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿) = (((𝑇‘𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
188	185, 187	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) = (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿))
189	188	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)))
190	184, 189	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)))
191	187, 185	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
192	191	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
193		jensenlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
194	52, 57, 60, 66	divgt0d 10959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 / 𝐿))
195		lemul2 10876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ ∧ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 / 𝐿))) → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
196	137, 149, 118, 194, 195	syl112anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
197	193, 196	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
198	138, 150, 153, 197	leadd1dd 10641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
199	192, 198	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
200	136, 142, 154, 190, 199	letrd 10194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
201	116	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋‘𝑧)))))
202	148	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
203	140	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) ∈ ℂ)
204	202, 203, 58, 67	divdird 10839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)))
205	17, 74	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℝ)
206	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
207	78, 206	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑋‘𝑥)) ∈ ℝ)
208	205, 207	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))) ∈ ℝ)
209	208	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))) ∈ ℂ)
210	73, 209	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))) ∈ ℂ)
211	84	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑋‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))
212	83, 211	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))) = ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))))
213	69, 70, 72, 9, 210, 36, 47, 203, 212	gsumunsn 18359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
214	43	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑦)))
215		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))
216	78, 88, 214, 215	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))
217	5, 74, 207, 87, 216	offval2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))))
218	217	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
219	6	resmptd 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))))
220	218, 219	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))))
221	220	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))))
222	217	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))) ↾ 𝐵))
223	7	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))))
224	222, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥)))))
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))))
226	225	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑇‘𝑥) · (𝐹‘(𝑋‘𝑥))))) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
227	213, 221, 226	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
228	227	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) / 𝐿))
229	202, 101, 58, 102, 67	dmdcand 10830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
230	229, 188	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))) = (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇‘𝑧) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧))) / 𝐿)))
231	204, 228, 230	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋‘𝑧)))))
232	200, 201, 231	3brtr4d 4685	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿))
233	135, 232	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇 ∘𝑓 · (𝐹 ∘ 𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  [,]cicc 12178   Σ_g cgsu 16101  SubGrpcsubg 17588  CMndccmn 18193  Abelcabl 18194  Ringcrg 18547  DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  ℝ_fldcrefld 19950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-refld 19951

This theorem is referenced by:  jensen  24715