Theorem fiminre 10972

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 10968. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3		negfi 10971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
4	3	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
5		negn0 10459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6	5	3adant2 1080	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
7		fimaxre 10968	. . 3 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
9		negeq 10273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ -𝑛 ∈ 𝐴))
11	10	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴))
12		simpllr 799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → -𝑛 ∈ 𝐴)
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
16		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
17		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
22		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
23	21, 22	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ))
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 ∈ 𝐴)
28		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
30	29	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ 𝐴))
31	20, 27, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴})
32		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = -𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ -𝑦 ≤ 𝑛))
33	32	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
35	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
37		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
39	34, 38	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑛 ≤ 𝑦))
40	39	impancom 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑛 ≤ 𝑦))
41	40	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦)
42	12, 15, 41	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
43	42	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
44	43	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
45	11, 44	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
46	45	impcom 446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
47	46	rexlimdva 3031	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
48	47	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
49	8, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  prmgaplem4  15758  fiminre2  39594  hoidmvlelem2  40810