Theorem negfi 10971

Description: The negation of a finite set of real numbers is finite. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negfi	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem negfi

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
2		renegcl 10344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 → -𝑎 ∈ ℝ))
4	3	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → -𝑎 ∈ ℝ)
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ)
6		dmmptg 5632	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐴 -𝑎 ∈ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 = dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎))
9	8	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
10		funmpt 5926	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
11		fundmfibi 8245	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ dom (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
13	9, 12	bitr4d 271	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
14		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 4802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16		mptexg 6484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V)
18		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎)
19	18	negf1o 10460	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
20		f1of1 6136	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴} → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴})
22		f1vrnfibi 8251	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎):𝐴–1-1→{𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ 𝐴}) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
23	17, 21, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin))
24	1	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
25	2	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -𝑎 ∈ ℝ)
26		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
27	26	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 = 𝑎)
28	27	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 = --𝑎)
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
30	29	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ ℝ → --𝑎 ∈ 𝐴))
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → --𝑎 ∈ 𝐴)
33	25, 32	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
34	24, 33	mpdan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴))
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ↔ -𝑎 ∈ ℝ))
36		negeq 10273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → -𝑛 = --𝑎)
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑎 ∈ 𝐴))
38	35, 37	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑎 → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ↔ (-𝑎 ∈ ℝ ∧ --𝑎 ∈ 𝐴)))
39	34, 38	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
40	39	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 → (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
41		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → -𝑛 ∈ 𝐴)
42		negeq 10273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → -𝑎 = --𝑛)
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = -𝑛 → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑎 = -𝑛) → (𝑛 = -𝑎 ↔ 𝑛 = --𝑛))
45		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ ℂ)
46		negneg 10331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → --𝑛 = 𝑛)
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 = --𝑛)
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 = --𝑛)
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → 𝑛 = --𝑛)
50	41, 44, 49	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎)
51	50	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎))
52	40, 51	impbid 202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎 ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)))
53	52	abbidv 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)})
54	18	rnmpt 5371	. . . . 5 ⊢ ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑛 = -𝑎}
55		df-rab 2921	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} = {𝑛 ∣ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴)}
56	53, 54, 55	3eqtr4g 2681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) = {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
57	56	eleq1d 2686	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (ran (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ -𝑎) ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
58	13, 23, 57	3bitrd 294	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin))
59	58	biimpa 501	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115  Fun wfun 5882  –1-1→wf1 5885  –1-1-onto→wf1o 5887  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  fiminre  10972