Theorem fsumsplitsn 14474

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fsumsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 4246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 8038	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
9		unfi 8227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
11		fsumsplitsn.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
14		elunnel1 3754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
15		elsni 4194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
17	16	adantll 750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
18		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
20		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	19, 21	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	13, 17, 22	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	12, 23	pm2.61dan 832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	1, 4, 5, 10, 24	fsumsplitf 14472	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
26		fsumsplitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
27		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
28	27, 18	sumsnf 14473	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	26, 20, 28	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
30	29	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))
31	25, 30	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934   + caddc 9939  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  reprsuc  30693  hgt750lemd  30726  fsumnncl  39803  fsumsplit1  39804  mccllem  39829  dvmptfprodlem  40159  dvnprodlem1  40161  sge0iunmptlemfi  40630