Theorem evlslem6 19513

Description: Lemma for evlseu 19516. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem1.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem1.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
evlslem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
evlslem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlslem6	⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏   ℎ,𝐼   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏   𝑌,𝑏   ℎ,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑝)   𝐵(ℎ,𝑝,𝑏)   𝐶(ℎ,𝑝)   𝐷(ℎ,𝑝)   𝑃(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝)   𝑆(ℎ,𝑝)   𝑇(ℎ,𝑝,𝑏)   · (ℎ,𝑝,𝑏)   𝐸(ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (ℎ,𝑝,𝑏)   𝐹(ℎ,𝑝,𝑏)   𝐺(ℎ,𝑝,𝑏)   𝐼(𝑝,𝑏)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑉(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑌(ℎ,𝑝)

Proof of Theorem evlslem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
2		crngring 18558	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
5		evlslem1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
6		evlslem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		evlslem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
8	6, 7	rhmf 18726	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
11		evlslem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		evlslem1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		evlslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
14		evlslem6.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 6, 12, 13, 14	mplelf 19433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶𝐾)
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑏) ∈ 𝐾)
17	10, 16	ffvelrnd 6360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑌‘𝑏)) ∈ 𝐶)
18		evlslem1.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 7	mgpbas 18495	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
20		evlslem1.x	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
21		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
22	18	crngmgp 18555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
23	1, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
25		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
26		evlslem1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
28		evlslem1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
30	13, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 29	psrbagev2 19511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
31		evlslem1.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
32	7, 31	ringcl 18561	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑌‘𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
33	4, 17, 30, 32	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
34		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
35	33, 34	fmptd 6385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
36		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
37	13, 36	rabexd 4814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
38		mptexg 6484	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∈ V)
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∈ V)
40		funmpt 5926	. . . 4 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
42		fvexd 6203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
43		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44		evlslem1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
45	11, 12, 43, 14, 44	mplelsfi 19491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 finSupp (0g‘𝑅))
46	45	fsuppimpd 8282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
47	15	feqmptd 6249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑌‘𝑏)))
48	47	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑌‘𝑏)) supp (0g‘𝑅)))
49		eqimss2 3658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 supp (0g‘𝑅)) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑌‘𝑏)) supp (0g‘𝑅)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑌‘𝑏)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g‘𝑅)))
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑌‘𝑏)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g‘𝑅)))
51		rhmghm 18725	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
52		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
53	43, 52	ghmid 17666	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
54	5, 51, 53	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
55		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑌‘𝑏) ∈ V)
56		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
57	50, 54, 55, 56	suppssfv 7331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑌‘𝑏))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g‘𝑅)))
58	7, 31, 52	ringlz 18587	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · 𝑥) = (0g‘𝑆))
59	3, 58	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · 𝑥) = (0g‘𝑆))
60		fvexd 6203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑌‘𝑏)) ∈ V)
61	57, 59, 60, 30, 42	suppssov1 7327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g‘𝑅)))
62		suppssfifsupp 8290	. . 3 ⊢ ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∧ (0g‘𝑆) ∈ V) ∧ ((𝑌 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
63	39, 41, 42, 46, 61, 62	syl32anc 1334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
64	35, 63	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  evlslem1  19515