Theorem frlmphllem 20119

Description: Lemma for frlmphl 20120. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
frlmphl.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑌)
frlmphl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmphl.s	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
frlmphl.f	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
frlmphllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,ℎ,𝑔,𝑥   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑊   𝑔,𝑌,ℎ,𝑥   0 ,𝑔,ℎ,𝑥   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   , ,𝑔,ℎ,𝑥   · ,ℎ   𝑔,𝑂,ℎ   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   ∗ (𝑔,ℎ)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		simp2 1062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ 𝑉)
4		frlmphl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmphl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		frlmphl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	frlmbasmap 20103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
8	2, 3, 7	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
9		elmapi 7879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
11		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐼⟶𝐵 → 𝑔 Fn 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
13		simp3 1063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ 𝑉)
14	4, 5, 6	frlmbasmap 20103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
15	2, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
16		elmapi 7879	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
18		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:𝐼⟶𝐵 → ℎ Fn 𝐼)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ Fn 𝐼)
20		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
21		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
22		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑥))
23	12, 19, 2, 2, 20, 21, 22	offval 6904	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘𝑓 · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
24	23	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ))
25		ovexd 6680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘𝑓 · ℎ) ∈ V)
26		funmpt 5926	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
28		funeq 5908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → (Fun (𝑔 ∘𝑓 · ℎ) ↔ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))))
29	27, 28	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑔 ∘𝑓 · ℎ))
30	23, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑔 ∘𝑓 · ℎ))
31		frlmphl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
32	4, 31, 6	frlmbasfsupp 20102	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
33	2, 3, 32	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
34		frlmphl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
35		isfld 18756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
37	36	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
38		drngring 18754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
41	5, 31	ring0cl 18569	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝐵)
43		frlmphl.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
44	5, 43, 31	ringlz 18587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
45	40, 44	sylan 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
46	2, 42, 10, 17, 45	suppofss1d 7332	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
47		fsuppsssupp 8291	. . . . 5 ⊢ ((((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘𝑓 · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔 ∘𝑓 · ℎ) finSupp 0 )
48	47	fsuppimpd 8282	. . . 4 ⊢ ((((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘𝑓 · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
49	25, 30, 33, 46, 48	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘𝑓 · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
50	24, 49	eqeltrrd 2702	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
51	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
52		mptexg 6484	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
53	2, 52	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
54		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
55	31, 54	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
57		funisfsupp 8280	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
58	51, 53, 56, 57	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
59	50, 58	mpbird 247	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  *_𝑟cstv 15943  ·_𝑖cip 15946  0_gc0g 16100  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-drng 18749  df-field 18750  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  frlmphl  20120