Theorem rrxcph 23180

Description: Generalized Euclidean real spaces are pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxcph	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem rrxcph

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	rrxval 23175	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7		rebase 19952	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
8		remulr 19957	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
9		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11		re0g 19958	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
12		refldcj 19966	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
13		refld 19965	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld ∈ Field)
15		fconstmpt 5163	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
16	6, 7, 4	frlmbasf 20104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
17		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐼⟶ℝ → 𝑓 Fn 𝐼)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19	18	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
20		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
21	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ℝfld ∈ Field)
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
23	6, 7, 8, 4, 9	frlmipval 20118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)))
24	20, 21, 22, 22, 23	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)))
25		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
26		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
27		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
28	18, 18, 20, 20, 26, 27, 27	offval 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥))))
29	18, 18, 20, 20, 26, 27, 27	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
30	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
31	30, 30	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
32	29, 31	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	25, 28, 32	fmpt2d 6393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
34		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) ∈ V)
35		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ → Fun (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Fun (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓))
37	6, 11, 4	frlmbasfsupp 20102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 finSupp 0)
38		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ∈ ℝ)
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	40	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
42	20, 38, 16, 16, 41	suppofss1d 7332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))
43		fsuppsssupp 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
44	34, 36, 37, 42, 43	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
45		regsumsupp 19968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
46	33, 44, 20, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
47		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
48		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓:𝐼⟶ℝ → dom 𝑓 = 𝐼)
49	16, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → dom 𝑓 = 𝐼)
50	47, 49	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
51	42, 50	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼)
52	51	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
53	52, 29	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
54	53	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
55	46, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
56	24, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
57	56	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
58		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
59	57, 58	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0)
60	37	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
61		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0)) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
62	60, 42, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
63	52, 31	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
64	30	msqge0d 10596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
65	52, 64	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 0 ≤ ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
66	62, 63, 65	fsum00 14530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0))
67	66	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0))
68	59, 67	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0)
69	68	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0)
70	69	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0)
71	30	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
73	72, 72	mul0ord 10677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ∨ (𝑓‘𝑥) = 0)))
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ∨ (𝑓‘𝑥) = 0)))
75	70, 74	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓‘𝑥) = 0 ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
76		oridm 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘𝑥) = 0 ∨ (𝑓‘𝑥) = 0) ↔ (𝑓‘𝑥) = 0)
77	75, 76	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (𝑓‘𝑥) = 0)
78	33	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
80		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))
82		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
83		0red 10041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ)
84	79, 81, 82, 83	suppssr 7326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0)
85	29	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
86	85	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)) = 0))
87	86, 73	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑥) = 0 ∨ (𝑓‘𝑥) = 0)))
88	87, 76	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑓‘𝑥) = 0))
89	88	biimpa 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0) → (𝑓‘𝑥) = 0)
90	84, 89	syldan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) → (𝑓‘𝑥) = 0)
91		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
92	51, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
93	92	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑥 ∈ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
94	93	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑥 ∈ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
95	94	biimpar 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))))
96		elun 3753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))))
97	95, 96	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0))))
98	77, 90, 97	mpjaodan 827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0)
99	98	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) = 0)
100		fconstfv 6476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) = 0))
101		c0ex 10034	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
102	101	fconst2 6470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {0}))
103	100, 102	sylbb1 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
104	19, 99, 103	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
105		isfld 18756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
106	13, 105	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
107	106	simpli 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
108		drngring 18754	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ Ring
110	6, 11	frlm0 20098	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
111	109, 110	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
112	15, 111	syl5reqr 2671	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
113	112	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
114	15, 104, 113	3eqtr4a 2682	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
115		cjre 13879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
116	115	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
117		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
118	6, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 114, 116, 117	frlmphl 20120	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
119		df-refld 19951	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
120	6	frlmsca 20097	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
121	13, 120	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
122	119, 121	syl5reqr 2671	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℂfld ↾s ℝ))
123		simpr1 1067	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
124		simpr3 1069	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 0 ≤ 𝑓)
125	123, 124	resqrtcld 14156	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → (√‘𝑓) ∈ ℝ)
126	62, 63, 65	fsumge0 14527	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑥)))
127	126, 55	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (ℝfld Σg (𝑓 ∘𝑓 · 𝑓)))
128	127, 24	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
129	3, 4, 5, 118, 122, 9, 125, 128	tchcph 23036	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ ℂPreHil)
130	2, 129	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   ≤ cle 10075  ∗ccj 13836  Σcsu 14416  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944  ·_𝑖cip 15946  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748  ℂ_fldccnfld 19746  ℝ_fldcrefld 19950   freeLMod cfrlm 20090  ℂPreHilccph 22966  toℂHilctch 22967  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  rrxngp  40502