Theorem funcsetcestrclem9 16803

Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 16804. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem9	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
5	1, 2	setcbas 16728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
6		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
7	5, 6	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
9	8	biimpcd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
11	10	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
13	12	biimpcd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
15	14	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16	1, 3, 4, 11, 15	setchom 16730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑𝑚 𝑋))
17	16	eleq2d 2687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋)))
18	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝐶 ↔ 𝑍 ∈ 𝑈))
19	18	biimpcd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
21	20	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
22	1, 3, 4, 15, 21	setchom 16730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍 ↑𝑚 𝑌))
23	22	eleq2d 2687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌)))
24	17, 23	anbi12d 747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))))
25		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
26		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
27		fco 6058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾:𝑌⟶𝑍 ∧ 𝐻:𝑋⟶𝑌) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
28	25, 26, 27	syl2anr 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌)) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
30		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
31	30	ancoms 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
32	31	3adant2 1080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
34	29, 33	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋))
35		fvresi 6439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38		funcsetcestrc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39		funcsetcestrc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑𝑚 𝑥))))
40	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem5 16799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋)))
41	40	3adantr2 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋)))
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋)))
43	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
45	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
46	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
47	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝑍 ∈ 𝑈)
48	26	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
49	25	ad2antll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
50	1, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	setcco 16733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
51	42, 50	fveq12d 6197	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍 ↑𝑚 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)))
52		funcsetcestrc.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
54	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	3ad2antr1 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
57	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58	57	3ad2antr2 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
59	58	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
60	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
61	60	3ad2antr3 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
63		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
64		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
65		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘(𝐹‘𝑍))
66		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝜑)
67		3simpa 1058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
69		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋))
70	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 16800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
72	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73	72	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76	75	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78	77	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
82	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83	82	3ad2antr2 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86	85	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88	87	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
90	84, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
92	71, 81, 91	feq123d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋⟶𝑌))
93	48, 92	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)))
94		3simpc 1060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
95	94	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
96		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))
97	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 16800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
98	66, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
99	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100	99	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
103	102	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → 𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
105	104	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107	101, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
108	107	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
109	98, 91, 108	feq123d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌⟶𝑍))
110	49, 109	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)))
111	52, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110	estrcco 16770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
112	98, 71	coeq12d 5286	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113	111, 112	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
114	36, 51, 113	3eqtr4d 2666	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115	114	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑𝑚 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
116	24, 115	sylbid 230	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
117	116	3impia 1261	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {csn 4177  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ωcom 7065   ↑_𝑚 cmap 7857  WUnicwun 9522  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  Hom chom 15952  compcco 15953  SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-c 9942  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16804