Theorem funcsetcestrclem9 16803

Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 16804. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcsetcestrc.c	|- C = ( Base ` S )
funcsetcestrc.f	|- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
funcsetcestrc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcsetcestrc.o	|- ( ph -> om e. U )
funcsetcestrc.g	|- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
funcsetcestrc.e	|- E = (ExtStrCat ` U )

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem9	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` S ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` S ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, X   ph, x   y, C, x   y, X   x, Y, y   ph, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)   U( x, y)   E( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . . 6 |- S = ( SetCat ` U )
2		funcsetcestrc.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. WUni )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> U e. WUni )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` S ) = ( Hom ` S )
5	1, 2	setcbas 16728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U = ( Base ` S ) )
6		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( Base ` S )
7	5, 6	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C = U )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. C <-> X e. U ) )
9	8	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( X e. C -> ( ph -> X e. U ) )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( ph -> X e. U ) )
11	10	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> X e. U )
12	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y e. C <-> Y e. U ) )
13	12	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ph -> Y e. U ) )
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( ph -> Y e. U ) )
15	14	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> Y e. U )
16	1, 3, 4, 11, 15	setchom 16730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( X ( Hom ` S ) Y ) = ( Y ^m X ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( H e. ( X ( Hom ` S ) Y ) <-> H e. ( Y ^m X ) ) )
18	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. C <-> Z e. U ) )
19	18	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( Z e. C -> ( ph -> Z e. U ) )
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( ph -> Z e. U ) )
21	20	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> Z e. U )
22	1, 3, 4, 15, 21	setchom 16730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Y ( Hom ` S ) Z ) = ( Z ^m Y ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( K e. ( Y ( Hom ` S ) Z ) <-> K e. ( Z ^m Y ) ) )
24	17, 23	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` S ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` S ) Z ) ) <-> ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) )
25		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( Z ^m Y ) -> K : Y --> Z )
26		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( H e. ( Y ^m X ) -> H : X --> Y )
27		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : Y --> Z /\ H : X --> Y ) -> ( K o. H ) : X --> Z )
28	25, 26, 27	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) -> ( K o. H ) : X --> Z )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( K o. H ) : X --> Z )
30		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. C /\ X e. C ) -> ( ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) <-> ( K o. H ) : X --> Z ) )
31	30	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. C /\ Z e. C ) -> ( ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) <-> ( K o. H ) : X --> Z ) )
32	31	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) <-> ( K o. H ) : X --> Z ) )
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) <-> ( K o. H ) : X --> Z ) )
34	29, 33	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) )
35		fvresi 6439	. . . . . 6 |- ( ( K o. H ) e. ( Z ^m X ) -> ( ( _I |` ( Z ^m X ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( _I |` ( Z ^m X ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
37		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
38		funcsetcestrc.o	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> om e. U )
39		funcsetcestrc.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
40	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem5 16799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Z e. C ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( Z ^m X ) ) )
41	40	3adantr2 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( Z ^m X ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( Z ^m X ) ) )
43	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> U e. WUni )
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` S ) = (comp ` S )
45	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> X e. U )
46	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> Y e. U )
47	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> Z e. U )
48	26	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> H : X --> Y )
49	25	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> K : Y --> Z )
50	1, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	setcco 16733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) = ( K o. H ) )
51	42, 50	fveq12d 6197	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( _I |` ( Z ^m X ) ) ` ( K o. H ) ) )
52		funcsetcestrc.e	. . . . . . 7 |- E = (ExtStrCat ` U )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` E ) = (comp ` E )
54	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( F ` X ) e. U )
55	54	3ad2antr1 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` X ) e. U )
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
57	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( F ` Y ) e. U )
58	57	3ad2antr2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
59	58	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
60	1, 6, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 16795	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Z e. C ) -> ( F ` Z ) e. U )
61	60	3ad2antr3 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
63		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( F ` X ) ) = ( Base ` ( F ` X ) )
64		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( F ` Y ) ) = ( Base ` ( F ` Y ) )
65		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( F ` Z ) ) = ( Base ` ( F ` Z ) )
66		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ph )
67		3simpa 1058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( X e. C /\ Y e. C ) )
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( X e. C /\ Y e. C ) )
69		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> H e. ( Y ^m X ) )
70	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 16800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
72	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( F ` X ) = { <. ( Base ` ndx ) , X >. } )
73	72	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` X ) = { <. ( Base ` ndx ) , X >. } )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. ( Base ` ndx ) , X >. } = { <. ( Base ` ndx ) , X >. }
76	75	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. C -> X = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) )
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. C -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) = X )
78	77	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) = X )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , X >. } ) = X )
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = X )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( Base ` ( F ` X ) ) = X )
82	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y e. C ) -> ( F ` Y ) = { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } )
83	82	3ad2antr2 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` Y ) = { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } = { <. ( Base ` ndx ) , Y >. }
86	85	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. C -> Y = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) )
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. C -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) = Y )
88	87	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) = Y )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Y >. } ) = Y )
90	84, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = Y )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( Base ` ( F ` Y ) ) = Y )
92	71, 81, 91	feq123d 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( ( X G Y ) ` H ) : ( Base ` ( F ` X ) ) --> ( Base ` ( F ` Y ) ) <-> H : X --> Y ) )
93	48, 92	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) : ( Base ` ( F ` X ) ) --> ( Base ` ( F ` Y ) ) )
94		3simpc 1060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( Y e. C /\ Z e. C ) )
95	94	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( Y e. C /\ Z e. C ) )
96		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> K e. ( Z ^m Y ) )
97	1, 6, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 16800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. C /\ Z e. C ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
98	66, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
99	1, 6, 37	funcsetcestrclem1 16794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Z e. C ) -> ( F ` Z ) = { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } )
100	99	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( F ` Z ) = { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` Z ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } ) )
102		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } = { <. ( Base ` ndx ) , Z >. }
103	102	1strbas 15980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. C -> Z = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } ) )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. C -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } ) = Z )
105	104	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } ) = Z )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , Z >. } ) = Z )
107	101, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( Base ` ( F ` Z ) ) = Z )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( Base ` ( F ` Z ) ) = Z )
109	98, 91, 108	feq123d 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) : ( Base ` ( F ` Y ) ) --> ( Base ` ( F ` Z ) ) <-> K : Y --> Z ) )
110	49, 109	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) : ( Base ` ( F ` Y ) ) --> ( Base ` ( F ` Z ) ) )
111	52, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110	estrcco 16770	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) )
112	98, 71	coeq12d 5286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
113	111, 112	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
114	36, 51, 113	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) /\ ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )
115	114	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( ( H e. ( Y ^m X ) /\ K e. ( Z ^m Y ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
116	24, 115	sylbid 230	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` S ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` S ) Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
117	116	3impia 1261	1 |- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C /\ Z e. C ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` S ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` S ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` S ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` E ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ^m cmap 7857  WUnicwun 9522   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-c 9942  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16804