Theorem dchr2sum 24998

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr2sum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchr2sum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr2sum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr2sum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchr2sum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		dchr2sum.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 24965	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1	dchrabl 24979	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablgrp 18198	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		dchr2sum.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubcl 17495	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
14	10, 5, 11, 13	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15		dchr2sum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dchrsum 24994	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
17	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐷)
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
21	3, 19, 20, 12	grpsubval 17465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	17, 18, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
25	3, 20	grpinvcl 17467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
26	24, 18, 25	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 19, 17, 26	dchrmul 24973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	22, 27	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	28	fveq1d 6193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
30	1, 2, 3, 15, 17	dchrf 24967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:𝐵⟶ℂ → 𝑋 Fn 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
33	1, 2, 3, 15, 26	dchrf 24967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
34		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
36		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) ∈ V
37	15, 36	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
40		fnfvof 6911	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
41	32, 35, 38, 39, 40	syl22anc 1327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
42	1, 3, 18, 20	dchrinv 24986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
43	42	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
44	1, 2, 3, 15, 18	dchrf 24967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
45		fvco3 6275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
46	44, 39, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
47	43, 46	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
48	47	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
49	29, 41, 48	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
50	49	sumeq2dv 14433	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
51	3, 4, 12	grpsubeq0 17501	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
52	10, 5, 11, 51	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
53	52	ifbid 4108	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
54	16, 50, 53	3eqtr3d 2664	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ifcif 4086   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941  ℕcn 11020  ∗ccj 13836  Σcsu 14416  ϕcphi 15469  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  -_gcsg 17424  Abelcabl 18194  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by: (None)