Theorem hashfzo 13216

Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11483	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	subidd 10380	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
4		fzo0 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅
5	4	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (#‘(𝐴..^𝐴)) = (#‘∅)
6		hash0 13158	. . . . 5 ⊢ (#‘∅) = 0
7	5, 6	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (#‘(𝐴..^𝐴)) = 0
8	3, 7	syl6reqr 2675	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
9		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
10	9	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴..^𝐴)))
11		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
12	10, 11	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (#‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴)))
13	8, 12	syl5ibrcom 237	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
14		eluzelz 11697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15		fzoval 12471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
17	16	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19		hashfz 13214	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
20	14	zcnd 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 2	sub32d 10424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) − 1))
23	22	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1))
24	20, 2	subcld 10392	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 10290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
28	23, 27	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
29	19, 28	sylan9eqr 2678	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 𝐴))
30	18, 29	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	ex 450	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
32		uzm1 11718	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
33	13, 31, 32	mpjaod 396	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashfzo0  13217  pntlemr  25291  circlemethhgt  30721