MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem hashgt12el2 13211
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> E. b e. V A =/= b )
Distinct variable groups:   V, b   A, b
Allowed substitution hint:   W( b)
Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 13158 . . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
2 fveq2 6191 . . . 4 |- ( (/) = V -> ( # ` (/) ) = ( # ` V ) )
31, 2syl5eqr 2670 . . 3 |- ( (/) = V -> 0 = ( # ` V ) )
4 breq2 4657 . . . . . . 7 |- ( ( # ` V ) = 0 -> ( 1 < ( # ` V ) <-> 1 < 0 ) )
54biimpd 219 . . . . . 6 |- ( ( # ` V ) = 0 -> ( 1 < ( # ` V ) -> 1 < 0 ) )
65eqcoms 2630 . . . . 5 |- ( 0 = ( # ` V ) -> ( 1 < ( # ` V ) -> 1 < 0 ) )
7 0le1 10551 . . . . . 6 |- 0 <_ 1
8 0re 10040 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
9 1re 10039 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
108, 9lenlti 10157 . . . . . . 7 |- ( 0 <_ 1 <-> -. 1 < 0 )
11 pm2.21 120 . . . . . . 7 |- ( -. 1 < 0 -> ( 1 < 0 -> E. b e. V A =/= b ) )
1210, 11sylbi 207 . . . . . 6 |- ( 0 <_ 1 -> ( 1 < 0 -> E. b e. V A =/= b ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 |- ( 1 < 0 -> E. b e. V A =/= b )
146, 13syl6com 37 . . . 4 |- ( 1 < ( # ` V ) -> ( 0 = ( # ` V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
15143ad2ant2 1083 . . 3 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> ( 0 = ( # ` V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
163, 15syl5com 31 . 2 |- ( (/) = V -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
17 df-ne 2795 . . . 4 |- ( (/) =/= V <-> -. (/) = V )
18 necom 2847 . . . 4 |- ( (/) =/= V <-> V =/= (/) )
1917, 18bitr3i 266 . . 3 |- ( -. (/) = V <-> V =/= (/) )
20 ralnex 2992 . . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. V -. A =/= b <-> -. E. b e. V A =/= b )
21 nne 2798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A =/= b <-> A = b )
22 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A = b <-> b = A )
2321, 22bitri 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. A =/= b <-> b = A )
2423ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. b e. V -. A =/= b <-> A. b e. V b = A )
2520, 24bitr3i 266 . . . . . . . . 9 |- ( -. E. b e. V A =/= b <-> A. b e. V b = A )
26 eqsn 4361 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V =/= (/) -> ( V = { A } <-> A. b e. V b = A ) )
2726bicomd 213 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( V =/= (/) -> ( A. b e. V b = A <-> V = { A } ) )
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( A. b e. V b = A <-> V = { A } ) )
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( A. b e. V b = A <-> V = { A } ) )
30 hashsnle1 13205 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` { A } ) <_ 1
31 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V = { A } -> ( # ` V ) = ( # ` { A } ) )
3231breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V = { A } -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> ( # ` { A } ) <_ 1 ) )
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) /\ V = { A } ) -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> ( # ` { A } ) <_ 1 ) )
3430, 33mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) /\ V = { A } ) -> ( # ` V ) <_ 1 )
3534ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( V = { A } -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
3629, 35sylbid 230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( A. b e. V b = A -> ( # ` V ) <_ 1 ) )
37 hashxrcl 13148 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. W -> ( # ` V ) e. RR* )
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) -> ( # ` V ) e. RR* )
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( # ` V ) e. RR* )
409rexri 10097 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR*
41 xrlenlt 10103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` V ) e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` V ) ) )
4239, 40, 41sylancl 694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( ( # ` V ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` V ) ) )
4336, 42sylibd 229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( A. b e. V b = A -> -. 1 < ( # ` V ) ) )
4425, 43syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( -. E. b e. V A =/= b -> -. 1 < ( # ` V ) ) )
4544con4d 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ V =/= (/) ) /\ A e. V ) -> ( 1 < ( # ` V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
4645exp31 630 . . . . . 6 |- ( V e. W -> ( V =/= (/) -> ( A e. V -> ( 1 < ( # ` V ) -> E. b e. V A =/= b ) ) ) )
4746com24 95 . . . . 5 |- ( V e. W -> ( 1 < ( # ` V ) -> ( A e. V -> ( V =/= (/) -> E. b e. V A =/= b ) ) ) )
48473imp 1256 . . . 4 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> ( V =/= (/) -> E. b e. V A =/= b ) )
4948com12 32 . . 3 |- ( V =/= (/) -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
5019, 49sylbi 207 . 2 |- ( -. (/) = V -> ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> E. b e. V A =/= b ) )
5116, 50pm2.61i 176 1 |- ( ( V e. W /\ 1 < ( # ` V ) /\ A e. V ) -> E. b e. V A =/= b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   #chash 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  27055  3cyclfrgrrn  27150  copisnmnd  41809
  Copyright terms: Public domain W3C validator