Theorem haustsms2 21940

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		tsmscl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmscl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmscl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmscl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmscl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8		haustsms.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	haustsms 21939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
12	11	moi2 3387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
13	12	ancom2s 844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
14	13	expr 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
15	1, 10, 1, 14	syl21anc 1325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
16		velsn 4193	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
17	15, 16	syl6ibr 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ {𝑋}))
18	17	ssrdv 3609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ {𝑋})
19		snssi 4339	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
20	19	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
21	18, 20	eqssd 3620	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
22	21	ex 450	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃*wmo 2471   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  TopOpenctopn 16082  CMndccmn 18193  TopSpctps 20736  Hauscha 21112   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  haustsmsid  21944  xrge0tsms  22637  xrge0tsmsd  29785