islptre - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem islptre 39851

Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
islptre.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
islptre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
islptre.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
islptre	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑏 𝐵,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islptre Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islptre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 22567	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4	3	topontopi 20720	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		islptre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		islptre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	3	toponunii 20721	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	8	islp2 20949	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
11		simp1r 1086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
13	12, 1	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15		snssi 4339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
17		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
19		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → ({𝐵} ⊆ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
20		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23	14, 16, 18, 22	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
25	23, 24	jctil 560	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
26		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
27	26	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ ℝ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
29	8	isnei 20907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
30	4, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
31	25, 30	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
32	31	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
33		ineq1 3807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
34	33	neeq1d 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
35	34	rspccva 3308	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
36	11, 32, 35	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
37	36	3exp 1264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
38	37	ralrimivv 2970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
39	7	snssd 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
40	8	isnei 20907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
41	4, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
42	41	simplbda 654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))
43	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
44	43	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
45	44	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
46		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝜑)
47		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
49	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
50		snssg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
52	48, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑣)
53	46, 47, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑣)
54	45, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣))
55		tg2 20769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣))
56		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
57		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
58		ovelrn 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)))
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
60	59	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
62		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ 𝑢)
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
64	62, 63	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 ⊆ 𝑣)
66	63, 65	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
67	64, 66	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
70	69	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
71	70	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
72	61, 71	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
73	72	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
74	54, 55, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
75		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
77		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
78	77	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑛 → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
79	76, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
80	79	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
81	80	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) → (∃𝑏 ∈ ℝ^ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
82	81	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
83	74, 82	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
84	83	3exp 1264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))))
85	84	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
86	85	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
87	42, 86	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
88	87	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
89		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
90		nfra1 2941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
91	89, 90	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
92		nfv 1843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
93	91, 92	nfan 1828	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
94		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
95		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
96		nfra2 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
97	95, 96	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
98		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
99	97, 98	nfan 1828	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
100		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ ℝ^*
101	99, 100	nfan 1828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*)
102		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
103		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
104		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
105	103, 104	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ 𝑛)
106		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
108	105, 107	ssind 3837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
109		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) → ∀𝑎 ∈ ℝ^ ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
110	109	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
111		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
112		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
113	111, 112	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*))
114		simp3l 1089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
115		rsp2 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
116	110, 113, 114, 115	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
117		ssn0 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
118	108, 116, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) ∧ 𝑏 ∈ ℝ^ ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
119	118	3exp 1264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) → (𝑏 ∈ ℝ^ → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
120	101, 102, 119	rexlimd 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ^) → (∃𝑏 ∈ ℝ^ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
121	120	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑎 ∈ ℝ^* → (∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
122	93, 94, 121	rexlimd 3026	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
123	88, 122	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
124	123	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
125	38, 124	impbida 877	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
126	10, 125	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ∖ cdif 3571 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 𝒫 cpw 4158 {csn 4177 × cxp 5112 ran crn 5115 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℝcr 9935 ℝ^*cxr 10073 (,)cioo 12175 topGenctg 16098 Topctop 20698 TopOnctopon 20715 neicnei 20901 limPtclp 20938

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-ioo 12179 df-topgen 16104 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940

This theorem is referenced by: lptioo2 39863 lptioo1 39864 lptre2pt 39872

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