Theorem ioossre 12235

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3607	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3574  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  ioof  12271  difreicc  12304  icopnfcld  22571  ioombl1  23330  ioorcl2  23340  uniioombllem2  23351  uniioombllem3a  23352  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  uniioombllem6  23356  ismbf3d  23421  itgsplitioo  23604  ditgeq3  23614  dvferm1lem  23747  dvferm2lem  23749  dvferm  23751  dvlip  23756  dvlipcn  23757  dvle  23770  dvivthlem1  23771  dvivth  23773  lhop1lem  23776  lhop1  23777  lhop2  23778  lhop  23779  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem3  23791  dvfsumlem4  23792  dvfsumrlimge0  23793  dvfsumrlim  23794  dvfsumrlim2  23795  dvfsum2  23797  ftc1a  23800  ftc1cn  23806  ftc2  23807  itgsubstlem  23811  itgsubst  23812  efcvx  24203  pige3  24269  tanord  24284  divlogrlim  24381  logccv  24409  atantan  24650  amgmlem  24716  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntibndlem2a  25279  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntlemd  25283  pnt  25303  padicabv  25319  cnre2csqima  29957  ftc2re  30676  fdvposlt  30677  fdvposle  30679  itgexpif  30684  circlemeth  30718  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  ioosconn  31229  iccllysconn  31232  itg2gt0cn  33465  itggt0cn  33482  ftc1cnnclem  33483  ftc1cnnc  33484  ftc1anclem8  33492  ftc2nc  33494  dvreasin  33498  dvreacos  33499  areacirclem1  33500  areacirc  33505  itgpowd  37800  ioosscn  39716  ioontr  39736  iooshift  39748  ioonct  39764  iooiinicc  39769  icomnfinre  39779  iooiinioc  39783  islptre  39851  lptioo2  39863  lptioo1  39864  limcresiooub  39874  limcresioolb  39875  limcleqr  39876  lptioo2cn  39877  lptioo1cn  39878  limclner  39883  limclr  39887  icccncfext  40100  cncfiooicclem1  40106  dvmptresicc  40134  dvresioo  40136  dvbdfbdioolem1  40143  dvbdfbdioolem2  40144  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  itgsin0pilem1  40165  itgcoscmulx  40185  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  itgsbtaddcnst  40198  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem3  40322  dirkercncflem4  40323  fourierdlem16  40340  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem28  40352  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem59  40382  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem65  40388  fourierdlem72  40395  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem80  40403  fourierdlem81  40404  fourierdlem83  40406  fourierdlem84  40407  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415  fourierdlem94  40417  fourierdlem95  40418  fourierdlem97  40420  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  fourierdlem113  40436  fouriersw  40448  fouriercn  40449  ioorrnopnlem  40524  hspdifhsp  40830  hspmbllem2  40841  hspmbl  40843  iunhoiioolem  40889  smfresal  40995  smfpimbor1lem1  41005