Theorem iooretop 22569

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 22564	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 20770	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 12275	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3600	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  (,)cioo 12175  topGenctg 16098  TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  icccld  22570  icopnfcld  22571  iocmnfcld  22572  zcld  22616  iccntr  22624  reconnlem1  22629  reconnlem2  22630  icoopnst  22738  iocopnst  22739  dvlip  23756  dvlipcn  23757  dvivthlem1  23771  dvne0  23774  lhop2  23778  lhop  23779  dvfsumle  23784  dvfsumabs  23786  dvfsumlem2  23790  ftc1  23805  dvloglem  24394  advlog  24400  advlogexp  24401  cxpcn3  24489  loglesqrt  24499  lgamgulmlem2  24756  log2sumbnd  25233  dya2iocbrsiga  30337  dya2icobrsiga  30338  poimir  33442  ftc1cnnc  33484  areacirclem1  33500  rfcnpre1  39178  rfcnpre2  39190  ioontr  39736  iocopn  39746  icoopn  39751  islptre  39851  limciccioolb  39853  limcicciooub  39869  limcresiooub  39874  limcresioolb  39875  icccncfext  40100  itgsin0pilem1  40165  itgsbtaddcnst  40198  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem3  40322  dirkercncflem4  40323  fourierdlem28  40352  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem59  40382  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem73  40396  fouriersw  40448  iooborel  40569