Theorem islptre 39851

Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islptre.1	|- J = ( topGen ` ran (,) )
islptre.2	|- ( ph -> A C_ RR )
islptre.3	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
islptre	|- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   B, a, b   J, a, b   ph, a, b

Proof of Theorem islptre

Dummy variables n v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islptre.1	. . . . . 6 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		retopon 22567	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 |- J e. (TopOn ` RR )
4	3	topontopi 20720	. . . 4 |- J e. Top
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
6		islptre.2	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
7		islptre.3	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
8	3	toponunii 20721	. . . 4 |- RR = U. J
9	8	islp2 20949	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ RR /\ B e. RR ) -> ( B e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
11		simp1r 1086	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
12		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a (,) b ) e. ( topGen ` ran (,) )
13	12, 1	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 |- ( a (,) b ) e. J
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( a (,) b ) e. J )
15		snssi 4339	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( a (,) b ) -> { B } C_ ( a (,) b ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> { B } C_ ( a (,) b ) )
17		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- ( a (,) b ) C_ ( a (,) b )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( a (,) b ) )
19		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( a (,) b ) -> ( { B } C_ v <-> { B } C_ ( a (,) b ) ) )
20		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( a (,) b ) -> ( v C_ ( a (,) b ) <-> ( a (,) b ) C_ ( a (,) b ) ) )
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( a (,) b ) -> ( ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) <-> ( { B } C_ ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( a (,) b ) ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a (,) b ) e. J /\ ( { B } C_ ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( a (,) b ) ) ) -> E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) )
23	14, 16, 18, 22	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) )
24		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( a (,) b ) C_ RR
25	23, 24	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) C_ RR /\ E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) ) )
26		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( a (,) b ) -> B e. RR )
27	26	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( a (,) b ) -> { B } C_ RR )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> { B } C_ RR )
29	8	isnei 20907	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ { B } C_ RR ) -> ( ( a (,) b ) e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) <-> ( ( a (,) b ) C_ RR /\ E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) ) ) )
30	4, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) <-> ( ( a (,) b ) C_ RR /\ E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ ( a (,) b ) ) ) ) )
31	25, 30	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( a (,) b ) e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) )
32	31	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( a (,) b ) e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) )
33		ineq1 3807	. . . . . . . 8 |- ( n = ( a (,) b ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) )
34	33	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( n = ( a (,) b ) -> ( ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) <-> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
35	34	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) /\ ( a (,) b ) e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
36	11, 32, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ B e. ( a (,) b ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
37	36	3exp 1264	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) -> ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
38	37	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
39	7	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ RR )
40	8	isnei 20907	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ { B } C_ RR ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) <-> ( n C_ RR /\ E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) ) )
41	4, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) <-> ( n C_ RR /\ E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) ) )
42	41	simplbda 654	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ n ) )
43	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. J <-> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
44	43	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. J -> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
45	44	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
46		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> ph )
47		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> { B } C_ v )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ { B } C_ v ) -> { B } C_ v )
49	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ { B } C_ v ) -> B e. RR )
50		snssg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( B e. v <-> { B } C_ v ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ { B } C_ v ) -> ( B e. v <-> { B } C_ v ) )
52	48, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ { B } C_ v ) -> B e. v )
53	46, 47, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> B e. v )
54	45, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> ( v e. ( topGen ` ran (,) ) /\ B e. v ) )
55		tg2 20769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. ( topGen ` ran (,) ) /\ B e. v ) -> E. u e. ran (,) ( B e. u /\ u C_ v ) )
56		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
57		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
58		ovelrn 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( u e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* u = ( a (,) b ) ) )
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* u = ( a (,) b ) )
60	59	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ran (,) -> E. a e. RR* E. b e. RR* u = ( a (,) b ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ran (,) /\ ( B e. u /\ u C_ v ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* u = ( a (,) b ) )
62		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> B e. u )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> u = ( a (,) b ) )
64	62, 63	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> B e. ( a (,) b ) )
65		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> u C_ v )
66	63, 65	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
67	64, 66	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. u /\ u C_ v ) /\ u = ( a (,) b ) ) -> ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. u /\ u C_ v ) -> ( u = ( a (,) b ) -> ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ran (,) /\ ( B e. u /\ u C_ v ) ) -> ( u = ( a (,) b ) -> ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
70	69	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ran (,) /\ ( B e. u /\ u C_ v ) ) -> ( E. b e. RR* u = ( a (,) b ) -> E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
71	70	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ran (,) /\ ( B e. u /\ u C_ v ) ) -> ( E. a e. RR* E. b e. RR* u = ( a (,) b ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
72	61, 71	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ran (,) /\ ( B e. u /\ u C_ v ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) )
73	72	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u e. ran (,) ( B e. u /\ u C_ v ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) )
74	54, 55, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) )
75		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) /\ a e. RR* ) -> v C_ n )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* ) -> v C_ n )
77		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) C_ v /\ v C_ n ) -> ( a (,) b ) C_ n )
78	77	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v C_ n -> ( ( a (,) b ) C_ v -> ( a (,) b ) C_ n ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* ) -> ( ( a (,) b ) C_ v -> ( a (,) b ) C_ n ) )
80	79	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* ) -> ( ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) -> ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) )
81	80	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) /\ a e. RR* ) -> ( E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) -> E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) )
82	81	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> ( E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) )
83	74, 82	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. J /\ ( { B } C_ v /\ v C_ n ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) )
84	83	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. J -> ( ( { B } C_ v /\ v C_ n ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) ) )
85	84	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ n ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> ( E. v e. J ( { B } C_ v /\ v C_ n ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) )
87	42, 86	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) )
88	87	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) )
89		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ a ph
90		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ a A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
91	89, 90	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ a ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
92		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ a n e. ( ( nei ` J ) ` { B } )
93	91, 92	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ a ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) )
94		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ a ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/)
95		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b ph
96		nfra2 2946	. . . . . . . . . . 11 |- F/ b A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
97	95, 96	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ b ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
98		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ b n e. ( ( nei ` J ) ` { B } )
99	97, 98	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ b ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) )
100		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ b a e. RR*
101	99, 100	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ b ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* )
102		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ b ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/)
103		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( a (,) b )
104		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( a (,) b ) C_ n )
105	103, 104	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ n )
106		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( A \ { B } ) )
108	105, 107	ssind 3837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( n i^i ( A \ { B } ) ) )
109		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
110	109	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
111		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> a e. RR* )
112		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> b e. RR* )
113	111, 112	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
114		simp3l 1089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> B e. ( a (,) b ) )
115		rsp2 2936	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) -> ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
116	110, 113, 114, 115	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
117		ssn0 3976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) C_ ( n i^i ( A \ { B } ) ) /\ ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
118	108, 116, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) /\ b e. RR* /\ ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
119	118	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) -> ( b e. RR* -> ( ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
120	101, 102, 119	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) /\ a e. RR* ) -> ( E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
121	120	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> ( a e. RR* -> ( E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
122	93, 94, 121	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> ( E. a e. RR* E. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ n ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) )
123	88, 122	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ) -> ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
124	123	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) )
125	38, 124	impbida 877	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { B } ) ( n i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) <-> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )
126	10, 125	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` J ) ` A ) <-> A. a e. RR* A. b e. RR* ( B e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( A \ { B } ) ) =/= (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901   limPtclp 20938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940

This theorem is referenced by:  lptioo2  39863  lptioo1  39864  lptre2pt  39872