Theorem mapdpglem15 36975

Description: Lemma for mapdpg 36995. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem15	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		mapdpglem4.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
3		mapdpglem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 36398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
11		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		mapdpglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
14		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15		mapdpglem3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16		mapdpglem3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
17		mapdpglem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
18		mapdpglem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19		mapdpglem3.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
20		mapdpglem3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
21		mapdpglem3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		mapdpglem3.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
23		mapdpglem.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
24		mapdpglem4.jt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
25		mapdpglem4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
26		mapdpglem4.g4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
27		mapdpglem4.z4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
28		mapdpglem4.t4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
29		mapdpglem4.xn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
30		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
31		mapdpglem12.g0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
32	4, 9, 5, 1, 10, 3, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	mapdpglem14 36974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
33	1, 2, 3, 7, 8, 32, 30	lspsneleq 19115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
34	33	eqcomd 2628	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  LSSumclsm 18049  LSpanclspn 18971  HLchlt 34637  LHypclh 35270  DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  mapdpglem16  36976