Theorem dvhlvec 36398

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2622	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2622	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2622	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2622	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 36397	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  inv_gcminusg 17423  LVecclvec 19102  HLchlt 34637  LHypclh 35270  LTrncltrn 35387  TEndoctendo 36040  DVecHcdvh 36367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dvech 36368

This theorem is referenced by:  dvhlmod  36399  dih1dimatlem  36618  dihlspsnssN  36621  dihlspsnat  36622  dihpN  36625  dihlatat  36626  dochsat  36672  dochshpncl  36673  dochlkr  36674  dochkrshp  36675  dochkrshp3  36677  dvh2dimatN  36729  dvh3dim3N  36738  dochsatshp  36740  dochsatshpb  36741  dochexmidat  36748  dochexmidlem3  36751  dochsnkr  36761  dochsnkr2  36762  dochflcl  36764  dochfl1  36765  dochkr1  36767  dochkr1OLDN  36768  lcfl6lem  36787  lcfl7lem  36788  lcfl9a  36794  lclkrlem1  36795  lclkrlem2a  36796  lclkrlem2e  36800  lclkrlem2g  36802  lclkrlem2h  36803  lclkrlem2o  36810  lclkrlem2p  36811  lclkrlem2q  36812  lclkrlem2s  36814  lclkrlem2v  36817  lclkrslem1  36826  lcfrvalsnN  36830  lcfrlem16  36847  lcfrlem20  36851  lcfrlem25  36856  lcfrlem29  36860  lcfrlem31  36862  lcfrlem33  36864  lcfrlem35  36866  lcdlvec  36880  lcdlkreqN  36911  lcdlkreq2N  36912  mapdordlem2  36926  mapdsn3  36932  mapdrvallem2  36934  mapdcnvatN  36955  mapdat  36956  mapdpglem10  36970  mapdpglem15  36975  mapdpglem17N  36977  mapdpglem18  36978  mapdpglem19  36979  mapdpglem21  36981  mapdpglem22  36982  mapdheq4lem  37020  mapdheq4  37021  mapdh6lem1N  37022  mapdh6lem2N  37023  mapdh6aN  37024  mapdh6b0N  37025  mapdh6bN  37026  mapdh6cN  37027  mapdh6dN  37028  mapdh6eN  37029  mapdh6fN  37030  mapdh6hN  37032  mapdh7eN  37037  mapdh7dN  37039  mapdh7fN  37040  mapdh75fN  37044  mapdh8aa  37065  mapdh8ab  37066  mapdh8ad  37068  mapdh8b  37069  mapdh8c  37070  mapdh8d0N  37071  mapdh8d  37072  mapdh8e  37073  mapdh9a  37079  mapdh9aOLDN  37080  hdmap1eq4N  37096  hdmap1l6lem1  37097  hdmap1l6lem2  37098  hdmap1l6a  37099  hdmap1l6b0N  37100  hdmap1l6b  37101  hdmap1l6c  37102  hdmap1l6d  37103  hdmap1l6e  37104  hdmap1l6f  37105  hdmap1l6h  37107  hdmap1eulemOLDN  37114  hdmapval0  37125  hdmapval3lemN  37129  hdmap10lem  37131  hdmap11lem1  37133  hdmap11lem2  37134  hdmaprnlem4N  37145  hdmaprnlem3eN  37150  hdmap14lem1a  37158  hdmap14lem4a  37163  hdmap14lem11  37170  hgmap11  37194  hdmaplkr  37205  hdmapip1  37208  hgmapvvlem1  37215  hgmapvvlem2  37216  hgmapvvlem3  37217  hlhillvec  37243