Theorem funmpt 5926

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 5925	. 2 ⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
2		df-mpt 4730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
3	2	funeqi 5909	. 2 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})
4	1, 3	mpbir 221	1 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {copab 4712   ↦ cmpt 4729  Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  funmpt2  5927  resfunexg  6479  mptexg  6484  mptexgf  6485  brtpos2  7358  tposfun  7368  mptfi  8265  sniffsupp  8315  cantnfrescl  8573  cantnflem1  8586  r0weon  8835  axcc2lem  9258  mptct  9360  negfi  10971  mptnn0fsupp  12797  ccatalpha  13375  mreacs  16319  acsfn  16320  isofval  16417  lubfun  16980  glbfun  16993  acsficl2d  17176  pmtrsn  17939  gsum2dlem2  18370  gsum2d  18371  dprdfinv  18418  dprdfadd  18419  dmdprdsplitlem  18436  dpjidcl  18457  mptscmfsupp0  18928  00lsp  18981  psrass1lem  19377  psrlidm  19403  psrridm  19404  psrass1  19405  psrass23l  19408  psrcom  19409  psrass23  19410  mplsubrg  19440  mplmon  19463  mplmonmul  19464  mplcoe1  19465  mplcoe5  19468  mplbas2  19470  evlslem2  19512  evlslem6  19513  psropprmul  19608  coe1mul2  19639  pjpm  20052  frlmphllem  20119  frlmphl  20120  uvcff  20130  uvcresum  20132  oftpos  20258  pmatcollpw2lem  20582  tgrest  20963  cmpfi  21211  1stcrestlem  21255  ptcnplem  21424  xkoinjcn  21490  symgtgp  21905  eltsms  21936  rrxmval  23188  tdeglem4  23820  plypf1  23968  tayl0  24116  taylthlem1  24127  xrlimcnp  24695  abrexexd  29347  fmptcof2  29457  ofpreima  29465  funcnvmptOLD  29467  mptctf  29495  psgnfzto1stlem  29850  locfinreflem  29907  measdivcstOLD  30287  sxbrsigalem0  30333  sitgf  30409  nosupno  31849  imageval  32037  poimirlem30  33439  poimir  33442  choicefi  39392  fourierdlem80  40403  sge0tsms  40597  scmsuppss  42153  rmfsupp  42155  scmfsupp  42159  fdivval  42333