Theorem nmparlem 23038

Description: Lemma for nmpar 23039. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmpar.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
nmpar.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
nmpar.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmpar.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nmparlem	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmpar.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		nmpar.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		nmpar.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		nmpar.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		nmpar.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		nmpar.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 23007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8		nmpar.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	1, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6	cph2subdi 23010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
10	7, 9	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11		cphclm 22989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
13		nmpar.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		nmpar.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	13, 14	clmsscn 22879	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		cphphl 22971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
19	13, 1, 2, 14	ipcl 19978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
20	18, 5, 5, 19	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
21	13, 1, 2, 14	ipcl 19978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
22	18, 6, 6, 21	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
23	13, 14	clmacl 22884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
24	12, 20, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	16, 24	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
26	13, 1, 2, 14	ipcl 19978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
27	18, 5, 6, 26	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
28	13, 1, 2, 14	ipcl 19978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
29	18, 6, 5, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
30	13, 14	clmacl 22884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32, 25	ppncand 10432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
34	10, 33	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35		cphlmod 22974	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	4, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	2, 3	lmodvacl 18877	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
38	36, 5, 6, 37	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39		nmpar.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
40	2, 1, 39	nmsq 22994	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
41	4, 38, 40	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
42	2, 8	lmodvsubcl 18908	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
43	36, 5, 6, 42	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
44	2, 1, 39	nmsq 22994	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
45	4, 43, 44	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))))
47	2, 1, 39	nmsq 22994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
48	4, 5, 47	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
49	2, 1, 39	nmsq 22994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
50	4, 6, 49	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
51	48, 50	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
52	51	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53	25	2timesd 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
54	52, 53	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
55	34, 46, 54	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  2c2 11070  ↑cexp 12860  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944  ·_𝑖cip 15946  -_gcsg 17424  LModclmod 18863  PreHilcphl 19969  normcnm 22381  ℂModcclm 22862  ℂPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  nmpar  23039