Theorem nnunb 11288

Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnunb	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nnunb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 926	. . . 4 ⊢ ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
2		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
4		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 − 1) ∈ V
5		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 1) ∈ ℝ))
6		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
7		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
8	7	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
9	6, 8	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
10	5, 9	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))))
11	4, 10	spcv 3299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
12	3, 11	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
13	2, 12	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
14	13	pm2.43d 53	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
15		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧))
16	14, 15	syl6ib 241	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
18		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
19		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		ltsubadd 10498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
21	19, 20	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
22	18, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
23	22	pm5.32da 673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
24	23	exbidv 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
25		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
26		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 + 1) ∈ V
27		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑧 + 1) ∈ ℕ))
28		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < (𝑧 + 1)))
29	27, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
30	26, 29	spcev 3300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
31	25, 30	sylan 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
32	31	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
33	24, 32	syl6bi 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
34	17, 33	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
35		df-ral 2917	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
36		df-ral 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
37		alinexa 1770	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
38	36, 37	bitr2i 265	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
39	38	con1bii 346	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
40	34, 35, 39	3imtr4g 285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦))
41	40	anim2d 589	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)))
42	1, 41	mtoi 190	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
43	42	nrex 3000	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧))
44		nnssre 11024	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
45		1nn 11031	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	45	n0ii 3922	. . . 4 ⊢ ¬ ℕ = ∅
47	46	neir 2797	. . 3 ⊢ ℕ ≠ ∅
48		sup2 10979	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
49	44, 47, 48	mp3an12 1414	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
50	43, 49	mto 188	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  arch  11289