Theorem numclwlk1lem2foa 27224

Description: Going forth and back form the end of a (closed) walk: 𝑊 represents the closed walk p₀, ..., p_n-3, p₀. With 𝑋 = p₀ and 𝑌 = p_n-1, ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) represents the closed walk p₀, ..., p_n-3, p₀, p_n-1, p₀. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1lem2foa	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑊   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑊(𝑣,𝑛)   𝑌(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2foa

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
2		uz3m2nn 11731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
4		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		extwwlkfab.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6		extwwlkfab.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	5, 6, 7	numclwwlkovfel2 27216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
10	5, 6, 7	numclwwlkovf2ex 27219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
11	10	ad4ant134 1296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
12		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
13		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	6	nbgrisvtx 26255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	13, 15	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
17	16	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
18	17	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
21		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
22	12, 20, 21	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
24		numclwlk1lem2foalem 27222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
26		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
28		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
31		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
32	27, 30, 31	3anim123d 1406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
33	25, 32	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
34	11, 33	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
35	34	exp31 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2))) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
36	35	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
37	36	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
38	37	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
39	38	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
40	9, 39	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
41	40	com14 96	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
42	41	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
43	42	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
44	43	impcom 446	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
45		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
46	45	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
47		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)))
48	47	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
49		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)))
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1399	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
52	51	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
53	44, 52	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
54		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
55	6, 5, 54	extwwlkfab 27223	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
56	55	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
57	53, 56	eleqtrrd 2704	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
58	57	ex 450	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2fo  27228