Theorem odhash 17989

Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11386	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
2		ominf 8172	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
3		znnen 14941	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
4		nnenom 12779	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
5	3, 4	entri 8010	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ω
6		enfi 8176	. . . . 5 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
8	2, 7	mtbir 313	. . 3 ⊢ ¬ ℤ ∈ Fin
9		hashinf 13122	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (#‘ℤ) = +∞)
10	1, 8, 9	mp2an 708	. 2 ⊢ (#‘ℤ) = +∞
11		odhash.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
13		odhash.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		odhash.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
15	11, 12, 13, 14	odf1o1 17987	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
16	1	f1oen 7976	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
17		hasheni 13136	. . 3 ⊢ (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (#‘ℤ) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
18	15, 16, 17	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (#‘ℤ) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
19	10, 18	syl5reqr 2671	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℕcn 11020  ℤcz 11377  #chash 13117  Basecbs 15857  mrClscmrc 16243  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588  odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948

This theorem is referenced by:  odhash3  17991